Algebra Beispiele

$\frac{a - 2 y}{a + y} - \frac{y^{2} - 5 a y}{a^{2} - y^{2}}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2} - 5 a y$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$\frac{a - 2 y}{a + y} - \frac{y \cdot y - 5 a y}{a^{2} - y^{2}}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- 5 a y$ heraus.

$\frac{a - 2 y}{a + y} - \frac{y \cdot y + y (- 5 a)}{a^{2} - y^{2}}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot y + y (- 5 a)$ heraus.

$\frac{a - 2 y}{a + y} - \frac{y (y - 5 a)}{a^{2} - y^{2}}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = y$ .

$\frac{a - 2 y}{a + y} - \frac{y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Schritt 2

Um $\frac{a - 2 y}{a + y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a - y}{a - y}$ .

$\frac{a - 2 y}{a + y} \cdot \frac{a - y}{a - y} - \frac{y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{a - 2 y}{a + y}$ mit $\frac{a - y}{a - y}$ .

$\frac{(a - 2 y) (a - y)}{(a + y) (a - y)} - \frac{y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(a - 2 y) (a - y) - y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Multipliziere $(a - 2 y) (a - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a (a - y) - 2 y (a - y) - y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Schritt 4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a \cdot a + a (- y) - 2 y (a - y) - y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a \cdot a + a (- y) - 2 y a - 2 y (- y) - y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Schritt 4.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{a^{2} + a (- y) - 2 y a - 2 y (- y) - y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{a^{2} - a y - 2 y a - 2 y (- y) - y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Schritt 4.2.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{a^{2} - a y - 2 y a - 2 \cdot - 1 y \cdot y - y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Schritt 4.2.1.4

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1.4.1

Bewege $y$ .

$\frac{a^{2} - a y - 2 y a - 2 \cdot - 1 (y \cdot y) - y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Schritt 4.2.1.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{a^{2} - a y - 2 y a - 2 \cdot - 1 y^{2} - y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Schritt 4.2.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{a^{2} - a y - 2 y a + 2 y^{2} - y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $2 y a$ von $- a y$ .

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Schritt 4.2.2.1

Bewege $y$ .

$\frac{a^{2} - a y - 2 a y + 2 y^{2} - y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $2 a y$ von $- a y$ .

$\frac{a^{2} - 3 a y + 2 y^{2} - y (y - 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a^{2} - 3 a y + 2 y^{2} - y \cdot y - y (- 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Schritt 4.4

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.4.1

Bewege $y$ .

$\frac{a^{2} - 3 a y + 2 y^{2} - (y \cdot y) - y (- 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{a^{2} - 3 a y + 2 y^{2} - y^{2} - y (- 5 a)}{(a + y) (a - y)}$

Schritt 4.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{a^{2} - 3 a y + 2 y^{2} - y^{2} - 1 \cdot - 5 y a}{(a + y) (a - y)}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$\frac{a^{2} - 3 a y + 2 y^{2} - y^{2} + 5 y a}{(a + y) (a - y)}$

Schritt 4.7

Addiere $- 3 a y$ und $5 y a$ .

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Schritt 4.7.1

Bewege $y$ .

$\frac{a^{2} + 2 y^{2} - y^{2} - 3 a y + 5 a y}{(a + y) (a - y)}$

Schritt 4.7.2

Addiere $- 3 a y$ und $5 a y$ .

$\frac{a^{2} + 2 y^{2} - y^{2} + 2 a y}{(a + y) (a - y)}$

Schritt 4.8

Subtrahiere $y^{2}$ von $2 y^{2}$ .

$\frac{a^{2} + y^{2} + 2 a y}{(a + y) (a - y)}$

Schritt 4.9

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.9.1

Ordne Terme um.

$\frac{a^{2} + 2 a y + y^{2}}{(a + y) (a - y)}$

Schritt 4.9.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 a y = 2 \cdot a \cdot y$

Schritt 4.9.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{a^{2} + 2 \cdot a \cdot y + y^{2}}{(a + y) (a - y)}$

Schritt 4.9.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = a$ und $b = y$ .

$\frac{{(a + y)}^{2}}{(a + y) (a - y)}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(a + y)}^{2}$ und $a + y$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $a + y$ aus ${(a + y)}^{2}$ heraus.

$\frac{(a + y) (a + y)}{(a + y) (a - y)}$

Schritt 5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a + y) (a + y)}{(a + y) (a - y)}$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a + y}{a - y}$