Algebra Beispiele

$\frac{8 - x^{3}}{25 x^{2} + 100 - 100 x}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{2^{3} - x^{3}}{25 x^{2} + 100 - 100 x}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 2$ und $b = x$ .

$\frac{(2 - x) (2^{2} + 2 x + x^{2})}{25 x^{2} + 100 - 100 x}$

Schritt 1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{(2 - x) (4 + 2 x + x^{2})}{25 x^{2} + 100 - 100 x}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $25$ aus $25 x^{2} + 100 - 100 x$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $25$ aus $25 x^{2}$ heraus.

$\frac{(2 - x) (4 + 2 x + x^{2})}{25 (x^{2}) + 100 - 100 x}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $25$ aus $100$ heraus.

$\frac{(2 - x) (4 + 2 x + x^{2})}{25 x^{2} + 25 \cdot 4 - 100 x}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $25$ aus $- 100 x$ heraus.

$\frac{(2 - x) (4 + 2 x + x^{2})}{25 x^{2} + 25 \cdot 4 + 25 (- 4 x)}$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $25$ aus $25 x^{2} + 25 \cdot 4$ heraus.

$\frac{(2 - x) (4 + 2 x + x^{2})}{25 (x^{2} + 4) + 25 (- 4 x)}$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $25$ aus $25 (x^{2} + 4) + 25 (- 4 x)$ heraus.

$\frac{(2 - x) (4 + 2 x + x^{2})}{25 (x^{2} + 4 - 4 x)}$

Schritt 2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.2.1

Ordne Terme um.

$\frac{(2 - x) (4 + 2 x + x^{2})}{25 (x^{2} - 4 x + 4)}$

Schritt 2.2.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{(2 - x) (4 + 2 x + x^{2})}{25 (x^{2} - 4 x + 2^{2})}$

Schritt 2.2.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 2.2.4

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{(2 - x) (4 + 2 x + x^{2})}{25 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})}$

Schritt 2.2.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{(2 - x) (4 + 2 x + x^{2})}{25 {(x - 2)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 - x$ und ${(x - 2)}^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{(- 1 (- 2) - x) (4 + 2 x + x^{2})}{25 {(x - 2)}^{2}}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{(- 1 (- 2) - (x)) (4 + 2 x + x^{2})}{25 {(x - 2)}^{2}}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 2) - (x)$ heraus.

$\frac{- 1 (- 2 + x) (4 + 2 x + x^{2})}{25 {(x - 2)}^{2}}$

Schritt 3.1.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 1 (x - 2) (4 + 2 x + x^{2})}{25 {(x - 2)}^{2}}$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere $x - 2$ aus $- 1 (x - 2) (4 + 2 x + x^{2})$ heraus.

$\frac{(x - 2) (- 1 (4 + 2 x + x^{2}))}{25 {(x - 2)}^{2}}$

Schritt 3.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.6.1

Faktorisiere $x - 2$ aus $25 {(x - 2)}^{2}$ heraus.

$\frac{(x - 2) (- 1 (4 + 2 x + x^{2}))}{(x - 2) (25 (x - 2))}$

Schritt 3.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 2) (- 1 (4 + 2 x + x^{2}))}{(x - 2) (25 (x - 2))}$

Schritt 3.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 (4 + 2 x + x^{2})}{25 (x - 2)}$

Schritt 3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 + 2 x + x^{2}}{25 (x - 2)}$