Algebra Beispiele

$\frac{(x - 12) (x + 5)}{{(x - 3)}^{3}} \leq 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x - 12 = 0$

$x + 5 = 0$

${(x - 3)}^{3} = 0$

Schritt 2

Addiere $12$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 12$

Schritt 3

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 4

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 5

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 6

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 12$

$x = - 5$

$x = 3$

Schritt 7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 12, - 5, 3$

Schritt 8

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{(x - 12) (x + 5)}{{(x - 3)}^{3}}$ .

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Schritt 8.1

Setze den Nenner in $\frac{(x - 12) (x + 5)}{{(x - 3)}^{3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 3)}^{3} = 0$

Schritt 8.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 8.2.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 8.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 5$

$- 5 < x < 3$

$3 < x < 12$

$x > 12$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{((- 8) - 12) ((- 8) + 5)}{{((- 8) - 3)}^{3}} \leq 0$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $- 0.04507888$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $- 5 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 5 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{((0) - 12) ((0) + 5)}{{((0) - 3)}^{3}} \leq 0$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $2.\overline{2}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $3 < x < 12$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $3 < x < 12$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{((8) - 12) ((8) + 5)}{{((8) - 3)}^{3}} \leq 0$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $- 0.416$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 12$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 12$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 14$

Schritt 10.4.2

Ersetze $x$ durch $14$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{((14) - 12) ((14) + 5)}{{((14) - 3)}^{3}} \leq 0$

Schritt 10.4.3

Die linke Seite $0.02854996$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 5$ Wahr

$- 5 < x < 3$ Falsch

$3 < x < 12$ Wahr

$x > 12$ Falsch

$x < - 5$ Wahr

$- 5 < x < 3$ Falsch

$3 < x < 12$ Wahr

$x > 12$ Falsch

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 5$ oder $3 < x \leq 12$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x \leq - 5 or 3 < x \leq 12$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 5] \cup (3, 12]$

Schritt 13