Algebra Beispiele

$a^{7} b^{2} - a b^{2}$

Schritt 1

Faktorisiere $a b^{2}$ aus $a^{7} b^{2} - a b^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $a b^{2}$ aus $a^{7} b^{2}$ heraus.

$a b^{2} (a^{6}) - a b^{2}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $a b^{2}$ aus $- a b^{2}$ heraus.

$a b^{2} (a^{6}) + a b^{2} (- 1)$

Schritt 1.3

Faktorisiere $a b^{2}$ aus $a b^{2} (a^{6}) + a b^{2} (- 1)$ heraus.

$a b^{2} (a^{6} - 1)$

Schritt 2

Schreibe $a^{6}$ als ${(a^{2})}^{3}$ um.

$a b^{2} ({(a^{2})}^{3} - 1)$

Schritt 3

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$a b^{2} ({(a^{2})}^{3} - 1^{3})$

Schritt 4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = a^{2}$ und $b = 1$ .

$a b^{2} ((a^{2} - 1) ({(a^{2})}^{2} + a^{2} \cdot 1 + 1^{2}))$

Schritt 5

Faktorisiere.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$a b^{2} ((a^{2} - 1^{2}) ({(a^{2})}^{2} + a^{2} \cdot 1 + 1^{2}))$

Schritt 5.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = 1$ .

$a b^{2} ((a + 1) (a - 1) ({(a^{2})}^{2} + a^{2} \cdot 1 + 1^{2}))$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $a^{2}$ mit $1$ .

$a b^{2} ((a + 1) (a - 1) ({(a^{2})}^{2} + a^{2} + 1^{2}))$

Schritt 5.2

Entferne unnötige Klammern.

$a b^{2} (a + 1) (a - 1) ({(a^{2})}^{2} + a^{2} + 1^{2})$

Schritt 6

Multipliziere die Exponenten in ${(a^{2})}^{2}$ .

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Schritt 6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a b^{2} (a + 1) (a - 1) (a^{2 \cdot 2} + a^{2} + 1^{2})$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$a b^{2} (a + 1) (a - 1) (a^{4} + a^{2} + 1^{2})$

Schritt 7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$a b^{2} (a + 1) (a - 1) (a^{4} + a^{2} + 1)$

Schritt 8

Faktorisiere.

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Schritt 8.1

Schreibe $a^{4} + a^{2} + 1$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 8.1.1

Forme den mittleren Term um.

$a b^{2} (a + 1) (a - 1) (a^{4} + 2 a^{2} \cdot 1 - a^{2} + 1)$

Schritt 8.1.2

Ordne Terme um.

$a b^{2} (a + 1) (a - 1) (a^{4} + 2 a^{2} \cdot 1 + 1 - a^{2})$

Schritt 8.1.3

Faktorisiere die ersten drei Terme mithilfe der binomischen Formeln.

$a b^{2} (a + 1) (a - 1) ({(a^{2} + 1)}^{2} - a^{2})$

Schritt 8.1.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a^{2} + 1$ und $b = a$ .

$a b^{2} (a + 1) (a - 1) ((a^{2} + 1 + a) (a^{2} + 1 - a))$

Schritt 8.1.5

Vereinfache.

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Schritt 8.1.5.1

Stelle die Terme um.

$a b^{2} (a + 1) (a - 1) ((a^{2} + a + 1) (a^{2} + 1 - a))$

Schritt 8.1.5.2

Stelle die Terme um.

$a b^{2} (a + 1) (a - 1) ((a^{2} + a + 1) (a^{2} - a + 1))$

Schritt 8.2

Entferne unnötige Klammern.

$a b^{2} (a + 1) (a - 1) (a^{2} + a + 1) (a^{2} - a + 1)$