Algebra Beispiele

$\sqrt{x} - 2 x + 7 = 0$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $\sqrt{x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{x} + 7 = 2 x$

Schritt 1.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{x} = 2 x - 7$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x}}^{2} = {(2 x - 7)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 7)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 7)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 7)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(2 x - 7)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$x = {(2 x - 7)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(2 x - 7)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(2 x - 7)}^{2}$ als $(2 x - 7) (2 x - 7)$ um.

$x = (2 x - 7) (2 x - 7)$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(2 x - 7) (2 x - 7)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = 2 x (2 x - 7) - 7 (2 x - 7)$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 7 - 7 (2 x - 7)$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 7 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 7$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 7$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$x = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 7 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 7$

Schritt 3.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 7 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 7$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 7 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 7$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $2$ .

$x = 4 x^{2} - 14 x - 7 (2 x) - 7 \cdot - 7$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$x = 4 x^{2} - 14 x - 14 x - 7 \cdot - 7$

Schritt 3.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 7$ .

$x = 4 x^{2} - 14 x - 14 x + 49$

Schritt 3.3.1.3.2

Subtrahiere $14 x$ von $- 14 x$ .

$x = 4 x^{2} - 28 x + 49$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$4 x^{2} - 28 x + 49 = x$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 28 x + 49 - x = 0$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $x$ von $- 28 x$ .

$4 x^{2} - 29 x + 49 = 0$

Schritt 4.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.4

Setze die Werte $a = 4$ , $b = - 29$ und $c = 49$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{29 \pm \sqrt{{(- 29)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 49)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1.1

Potenziere $- 29$ mit $2$ .

$x = \frac{29 \pm \sqrt{841 - 4 \cdot 4 \cdot 49}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot 49$ .

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Schritt 4.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{29 \pm \sqrt{841 - 16 \cdot 49}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $49$ .

$x = \frac{29 \pm \sqrt{841 - 784}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.5.1.3

Subtrahiere $784$ von $841$ .

$x = \frac{29 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{29 \pm \sqrt{57}}{8}$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{29 + \sqrt{57}}{8}, \frac{29 - \sqrt{57}}{8}$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{x} - 2 x + 7 = 0$ nicht erfüllen.

$x = \frac{29 + \sqrt{57}}{8}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{29 + \sqrt{57}}{8}$

Dezimalform:

$x = 4.56872930 \dots$