Algebra Beispiele

$V (x) = 2 x^{4} - 7 x^{3} + x^{2} + 7 x - 3$

Schritt 1

Setze $2 x^{4} - 7 x^{3} + x^{2} + 7 x - 3$ gleich $0$ .

$2 x^{4} - 7 x^{3} + x^{2} + 7 x - 3 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$- 7 x^{3} + 7 x + 2 x^{4} + x^{2} - 3 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $- 7 x$ aus $- 7 x^{3} + 7 x$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $- 7 x$ aus $- 7 x^{3}$ heraus.

$- 7 x \cdot x^{2} + 7 x + 2 x^{4} + x^{2} - 3 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $- 7 x$ aus $7 x$ heraus.

$- 7 x \cdot x^{2} - 7 x \cdot - 1 + 2 x^{4} + x^{2} - 3 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $- 7 x$ aus $- 7 x (x^{2}) - 7 x (- 1)$ heraus.

$- 7 x (x^{2} - 1) + 2 x^{4} + x^{2} - 3 = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- 7 x (x^{2} - 1^{2}) + 2 x^{4} + x^{2} - 3 = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$- 7 x ((x + 1) (x - 1)) + 2 x^{4} + x^{2} - 3 = 0$

Schritt 2.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + 2 x^{4} + x^{2} - 3 = 0$

Schritt 2.1.5

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + 2 {(x^{2})}^{2} + x^{2} - 3 = 0$

Schritt 2.1.6

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + 2 u^{2} + u - 3 = 0$

Schritt 2.1.7

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.7.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 2.1.7.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + 2 u^{2} + 1 u - 3 = 0$

Schritt 2.1.7.1.2

Schreibe $1$ um als $- 2$ plus $3$

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + 2 u^{2} + (- 2 + 3) u - 3 = 0$

Schritt 2.1.7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + 2 u^{2} - 2 u + 3 u - 3 = 0$

Schritt 2.1.7.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.7.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + 2 u^{2} - 2 u + 3 u - 3 = 0$

Schritt 2.1.7.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + 2 u (u - 1) + 3 (u - 1) = 0$

Schritt 2.1.7.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $u - 1$ .

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + (u - 1) (2 u + 3) = 0$

Schritt 2.1.8

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1) (2 x^{2} + 3) = 0$

Schritt 2.1.9

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1^{2}) (2 x^{2} + 3) = 0$

Schritt 2.1.10

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 3) = 0$

Schritt 2.1.11

Faktorisiere $(x + 1) (x - 1)$ aus $- 7 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 3)$ heraus.

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Schritt 2.1.11.1

Faktorisiere $(x + 1) (x - 1)$ aus $- 7 x (x + 1) (x - 1)$ heraus.

$(x + 1) (x - 1) (- 7 x) + (x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 3) = 0$

Schritt 2.1.11.2

Faktorisiere $(x + 1) (x - 1)$ aus $(x + 1) (x - 1) (- 7 x) + (x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 3)$ heraus.

$(x + 1) (x - 1) (- 7 x + 2 x^{2} + 3) = 0$

Schritt 2.1.12

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 7 u + 2 u^{2} + 3) = 0$

Schritt 2.1.13

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.13.1

Stelle die Terme um.

$(x + 1) (x - 1) (2 u^{2} - 7 u + 3) = 0$

Schritt 2.1.13.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ und deren Summe gleich $b = - 7$ ist.

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Schritt 2.1.13.2.1

Faktorisiere $- 7$ aus $- 7 u$ heraus.

$(x + 1) (x - 1) (2 u^{2} - 7 u + 3) = 0$

Schritt 2.1.13.2.2

Schreibe $- 7$ um als $- 1$ plus $- 6$

$(x + 1) (x - 1) (2 u^{2} + (- 1 - 6) u + 3) = 0$

Schritt 2.1.13.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 1) (x - 1) (2 u^{2} - 1 u - 6 u + 3) = 0$

Schritt 2.1.13.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.13.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x + 1) (x - 1) ((2 u^{2} - 1 u) - 6 u + 3) = 0$

Schritt 2.1.13.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x + 1) (x - 1) (u (2 u - 1) - 3 (2 u - 1)) = 0$

Schritt 2.1.13.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u - 1$ .

$(x + 1) (x - 1) ((2 u - 1) (u - 3)) = 0$

Schritt 2.1.14

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.14.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x + 1) (x - 1) ((2 x - 1) (x - 3)) = 0$

Schritt 2.1.14.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 1) (x - 1) (2 x - 1) (x - 3) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.4

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.5

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 2.6

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.6.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (x - 1) (2 x - 1) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 1, \frac{1}{2}, 3$

Schritt 3