Algebra Beispiele

$x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 9$

Schritt 1

Da $x = r \cos (θ)$ ist, ersetze $x$ durch $r \cos (θ)$ .

${(r \cos (θ))}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 9$

Schritt 2

Da $y = r \sin (θ)$ ist, ersetze $y$ durch $r \sin (θ)$ .

${(r \cos (θ))}^{2} + {((r \sin (θ)) - 3)}^{2} = 9$

Schritt 3

Löse nach $r$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(r \cos (θ))}^{2} + {((r \sin (θ)) - 3)}^{2} - 9 = 0$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $r \cos (θ)$ an.

$r^{2} \cos^{2} (θ) + {((r \sin (θ)) - 3)}^{2} - 9 = 0$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe ${(r \sin (θ) - 3)}^{2}$ als $(r \sin (θ) - 3) (r \sin (θ) - 3)$ um.

$r^{2} \cos^{2} (θ) + (r \sin (θ) - 3) (r \sin (θ) - 3) - 9 = 0$

Schritt 3.2.1.3

Multipliziere $(r \sin (θ) - 3) (r \sin (θ) - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r \sin (θ) (r \sin (θ) - 3) - 3 (r \sin (θ) - 3) - 9 = 0$

Schritt 3.2.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r \sin (θ) (r \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot - 3 - 3 (r \sin (θ) - 3) - 9 = 0$

Schritt 3.2.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r \sin (θ) (r \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot - 3 - 3 (r \sin (θ)) - 3 \cdot - 3 - 9 = 0$

Schritt 3.2.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.4.1.1

Multipliziere $r$ mit $r$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.4.1.1.1

Bewege $r$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r \cdot r \sin (θ) \sin (θ) + r \sin (θ) \cdot - 3 - 3 (r \sin (θ)) - 3 \cdot - 3 - 9 = 0$

Schritt 3.2.1.4.1.1.2

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin (θ) \sin (θ) + r \sin (θ) \cdot - 3 - 3 (r \sin (θ)) - 3 \cdot - 3 - 9 = 0$

Schritt 3.2.1.4.1.2

Multipliziere $r^{2} \sin (θ) \sin (θ)$ .

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Schritt 3.2.1.4.1.2.1

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} (\sin (θ) \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot - 3 - 3 (r \sin (θ)) - 3 \cdot - 3 - 9 = 0$

Schritt 3.2.1.4.1.2.2

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} (\sin (θ) \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot - 3 - 3 (r \sin (θ)) - 3 \cdot - 3 - 9 = 0$

Schritt 3.2.1.4.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} {\sin (θ)}^{1 + 1} + r \sin (θ) \cdot - 3 - 3 (r \sin (θ)) - 3 \cdot - 3 - 9 = 0$

Schritt 3.2.1.4.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) + r \sin (θ) \cdot - 3 - 3 (r \sin (θ)) - 3 \cdot - 3 - 9 = 0$

Schritt 3.2.1.4.1.3

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $r \sin (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) - 3 \cdot (r \sin (θ)) - 3 (r \sin (θ)) - 3 \cdot - 3 - 9 = 0$

Schritt 3.2.1.4.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) - 3 r \sin (θ) - 3 r \sin (θ) + 9 - 9 = 0$

Schritt 3.2.1.4.2

Subtrahiere $3 r \sin (θ)$ von $- 3 r \sin (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) - 6 r \sin (θ) + 9 - 9 = 0$

Schritt 3.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) - 6 r \sin (θ) + 9 - 9$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) - 6 r \sin (θ) + 0 = 0$

Schritt 3.2.2.1.2

Addiere $r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) - 6 r \sin (θ)$ und $0$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) - 6 r \sin (θ) = 0$

Schritt 3.2.2.2

Faktorisiere $r^{2}$ aus $r^{2} \cos^{2} (θ)$ heraus.

$r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} \sin^{2} (θ) - 6 r \sin (θ) = 0$

Schritt 3.2.2.3

Faktorisiere $r^{2}$ aus $r^{2} \sin^{2} (θ)$ heraus.

$r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} (\sin^{2} (θ)) - 6 r \sin (θ) = 0$

Schritt 3.2.2.4

Faktorisiere $r^{2}$ aus $r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} (\sin^{2} (θ))$ heraus.

$r^{2} (\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)) - 6 r \sin (θ) = 0$

Schritt 3.2.3

Ordne Terme um.

$r^{2} (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) - 6 r \sin (θ) = 0$

Schritt 3.2.4

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$r^{2} \cdot 1 - 6 r \sin (θ) = 0$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $r^{2}$ mit $1$ .

$r^{2} - 6 r \sin (θ) = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $r$ aus $r^{2} - 6 r \sin (θ)$ heraus.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $r$ aus $r^{2}$ heraus.

$r \cdot r - 6 r \sin (θ) = 0$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $r$ aus $- 6 r \sin (θ)$ heraus.

$r \cdot r + r (- 6 \sin (θ)) = 0$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $r$ aus $r \cdot r + r (- 6 \sin (θ))$ heraus.

$r (r - 6 \sin (θ)) = 0$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$r = 0$

$r - 6 \sin (θ) = 0$

Schritt 3.5

Setze $r$ gleich $0$ .

$r = 0$

Schritt 3.6

Setze $r - 6 \sin (θ)$ gleich $0$ und löse nach $r$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $r - 6 \sin (θ)$ gleich $0$ .

$r - 6 \sin (θ) = 0$

Schritt 3.6.2

Addiere $6 \sin (θ)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$r = 6 \sin (θ)$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $r (r - 6 \sin (θ)) = 0$ wahr machen.

$r = 0$

$r = 6 \sin (θ)$

$r = 0$

$r = 6 \sin (θ)$