Beispiele

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} 2 a - 6 b + 6 c \\ a + 2 b + c \\ 2 a + b + 2 c \end{array}]$

Schritt 1

Der Kern einer Transformation ist ein Vektor, der die Transformation gleich dem Nullvektor (dem Urbild der Transformation) macht.

$[\begin{array}{c} 2 a - 6 b + 6 c \\ a + 2 b + c \\ 2 a + b + 2 c \end{array}] = 0$

Schritt 2

Erzeuge aus der Vektorgleichung ein Gleichungssystem.

$2 a - 6 b + 6 c = 0$

$a + 2 b + c = 0$

$2 a + b + 2 c = 0$

Schritt 3

Schreibe das System als eine Matrix.

$[\begin{array}{c} 2 & - 6 & 6 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 4

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 4.1

Multipliziere jedes Element von $R_{1}$ mit $\frac{1}{2}$ , um den Eintrag in $1, 1$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere jedes Element von $R_{1}$ mit $\frac{1}{2}$ , um den Eintrag in $1, 1$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{- 6}{2} & \frac{6}{2} & \frac{0}{2} \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.2

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in $2, 1$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 4.2.1

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in $2, 1$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 1 - 1 & 2 + 3 & 1 - 3 & 0 - 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $3, 1$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 4.3.1

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $3, 1$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot - 3 & 2 - 2 \cdot 3 & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \\ 0 & 7 & - 4 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.4

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $\frac{1}{5}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 4.4.1

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $\frac{1}{5}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{- 2}{5} & \frac{0}{5} \\ 0 & 7 & - 4 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.4.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 7 & - 4 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.5

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} - 7 R_{2}$ aus, um den Eintrag in $3, 2$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 4.5.1

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} - 7 R_{2}$ aus, um den Eintrag in $3, 2$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 - 7 \cdot 0 & 7 - 7 \cdot 1 & - 4 - 7 (- \frac{2}{5}) & 0 - 7 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 4.5.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{6}{5} & 0 \end{array}]$

Schritt 4.6

Multipliziere jedes Element von $R_{3}$ mit $- \frac{5}{6}$ , um den Eintrag in $3, 3$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 4.6.1

Multipliziere jedes Element von $R_{3}$ mit $- \frac{5}{6}$ , um den Eintrag in $3, 3$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 0 \\ - \frac{5}{6} \cdot 0 & - \frac{5}{6} \cdot 0 & - \frac{5}{6} (- \frac{6}{5}) & - \frac{5}{6} \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 4.6.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.7

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} + \frac{2}{5} R_{3}$ aus, um den Eintrag in $2, 3$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 4.7.1

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} + \frac{2}{5} R_{3}$ aus, um den Eintrag in $2, 3$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 + \frac{2}{5} \cdot 0 & 1 + \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} + \frac{2}{5} \cdot 1 & 0 + \frac{2}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.7.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.8

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ aus, um den Eintrag in $1, 3$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 4.8.1

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ aus, um den Eintrag in $1, 3$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & - 3 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.8.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.9

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 4.9.1

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.9.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 5

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$a = 0$

$b = 0$

$c = 0$

Schritt 6

Schreibe einen Lösungsvektor durch Lösung der freien Variablen in jeder Zeile.

$[\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 7

Schreibe als eine Lösungsmenge.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

Schritt 8

Der Nullraum von $S$ ist der Teilraum ${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$ .

$K (S) = {[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

Gib DEINE Aufgabe ein