Beispiele

4 x^{2} + 3 y^{2} = 12

$4 x^{2} + 3 y^{2} = 12$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Ellipse.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Teile jeden Term durch

12

$12$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

\frac{4 x^{2}}{12} + \frac{3 y^{2}}{12} = \frac{12}{12}

$\frac{4 x^{2}}{12} + \frac{3 y^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich

1

$1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich

1

$1$ ist.

\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable

a

$a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar,

b

$b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse,

h

$h$ das x-Offset vom Ursprung und

k

$k$ das y-Offset vom Ursprung.

a = 2

$a = 2$

b = \sqrt{3}

$b = \sqrt{3}$

k = 0

$k = 0$

h = 0

$h = 0$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Ellipse folgt der Form

(h, k)

$(h, k)$ . Setze die Werte von

h

$h$ und

k

$k$ ein.

(0, 0)

$(0, 0)$

Schritt 5

Berechne

c

$c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.

\sqrt{a^{2} - b^{2}}

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von

a

$a$ und

b

$b$ in der Formel.

\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}

$\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Potenziere

2

$2$ mit

2

$2$ .

\sqrt{4 - {(\sqrt{3})}^{2}}

$\sqrt{4 - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Schreibe

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ als

3

$3$ um.

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Schritt 5.3.2.1

Benutze

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ als

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

\sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$\sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$\sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.3.2.3

Kombiniere

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ und

2

$2$ .

\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}

$\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 5.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}

$\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

\sqrt{4 - 3^{1}}

$\sqrt{4 - 3^{1}}$

\sqrt{4 - 3^{1}}

$\sqrt{4 - 3^{1}}$

Schritt 5.3.2.5

Berechne den Exponenten.

\sqrt{4 - 1 \cdot 3}

$\sqrt{4 - 1 \cdot 3}$

\sqrt{4 - 1 \cdot 3}

$\sqrt{4 - 1 \cdot 3}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

3

$3$ .

\sqrt{4 - 3}

$\sqrt{4 - 3}$

Schritt 5.3.3.2

Subtrahiere

3

$3$ von

4

$4$ .

\sqrt{1}

$\sqrt{1}$

Schritt 5.3.3.3

Jede Wurzel von

1

$1$ ist

1

$1$ .

1

$1$

1

$1$

1

$1$

1

$1$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von

a

$a$ zu

k

$k$ ermittelt werden.

(h, k + a)

$(h, k + a)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von

h

$h$ ,

a

$a$ und

k

$k$ in die Formel ein.

(0, 0 + 2)

$(0, 0 + 2)$

Schritt 6.3

Vereinfache.

(0, 2)

$(0, 2)$

Schritt 6.4

Der zweite Scheitelpunkt einer Ellipse kann durch Substrahieren von

a

$a$ von

k

$k$ ermittelt werden.

(h, k - a)

$(h, k - a)$

Schritt 6.5

Setze die bekannten Werte von

h

$h$ ,

a

$a$ und

k

$k$ in die Formel ein.

(0, 0 - (2))

$(0, 0 - (2))$

Schritt 6.6

Vereinfache.

(0, - 2)

$(0, - 2)$

Schritt 6.7

Ellipsen haben zwei Scheitelpunkte.

{Vertex}_{1}

${Vertex}_{1}$ :

(0, 2)

$(0, 2)$

{Vertex}_{2}

${Vertex}_{2}$ :

(0, - 2)

$(0, - 2)$

{Vertex}_{1}

${Vertex}_{1}$ :

(0, 2)

$(0, 2)$

{Vertex}_{2}

${Vertex}_{2}$ :

(0, - 2)

$(0, - 2)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von

c

$c$ zu

k

$k$ gefunden werden.

(h, k + c)

$(h, k + c)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von

h

$h$ ,

c

$c$ und

k

$k$ in die Formel ein.

(0, 0 + 1)

$(0, 0 + 1)$

Schritt 7.3

Vereinfache.

(0, 1)

$(0, 1)$

Schritt 7.4

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von

c

$c$ von

k

$k$ gefunden werden.

(h, k - c)

$(h, k - c)$

Schritt 7.5

Setze die bekannten Werte von

h

$h$ ,

c

$c$ und

k

$k$ in die Formel ein.

(0, 0 - (1))

$(0, 0 - (1))$

Schritt 7.6

Vereinfache.

(0, - 1)

$(0, - 1)$

Schritt 7.7

Ellipsen haben zwei Brennpunkte.

{Focus}_{1}

${Focus}_{1}$ :

(0, 1)

$(0, 1)$

{Focus}_{2}

${Focus}_{2}$ :

(0, - 1)

$(0, - 1)$

{Focus}_{1}

${Focus}_{1}$ :

(0, 1)

$(0, 1)$

{Focus}_{2}

${Focus}_{2}$ :

(0, - 1)

$(0, - 1)$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von

a

$a$ und

b

$b$ in die Formel ein.

\frac{\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}}{2}

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}}{2}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1

Potenziere

2

$2$ mit

2

$2$ .

\frac{\sqrt{4 - {\sqrt{3}}^{2}}}{2}

$\frac{\sqrt{4 - {\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

Schritt 8.3.2

Schreibe

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ als

3

$3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.2.1

Benutze

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ als

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

\frac{\sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}

$\frac{\sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

Schritt 8.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\frac{\sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}

$\frac{\sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

Schritt 8.3.2.3

Kombiniere

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ und

2

$2$ .

\frac{\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}}{2}

$\frac{\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Schritt 8.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}}{2}

$\frac{\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Schritt 8.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

\frac{\sqrt{4 - 3^{1}}}{2}

$\frac{\sqrt{4 - 3^{1}}}{2}$

\frac{\sqrt{4 - 3^{1}}}{2}

$\frac{\sqrt{4 - 3^{1}}}{2}$

Schritt 8.3.2.5

Berechne den Exponenten.

\frac{\sqrt{4 - 1 \cdot 3}}{2}

$\frac{\sqrt{4 - 1 \cdot 3}}{2}$

\frac{\sqrt{4 - 1 \cdot 3}}{2}

$\frac{\sqrt{4 - 1 \cdot 3}}{2}$

Schritt 8.3.3

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

3

$3$ .

\frac{\sqrt{4 - 3}}{2}

$\frac{\sqrt{4 - 3}}{2}$

Schritt 8.3.4

Subtrahiere

3

$3$ von

4

$4$ .

\frac{\sqrt{1}}{2}

$\frac{\sqrt{1}}{2}$

Schritt 8.3.5

Jede Wurzel von

1

$1$ ist

1

$1$ .

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

Schritt 9

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Ellipse dar.

Mittelpunkt:

(0, 0)

$(0, 0)$

{Vertex}_{1}

${Vertex}_{1}$ :

(0, 2)

$(0, 2)$

{Vertex}_{2}

${Vertex}_{2}$ :

(0, - 2)

$(0, - 2)$

{Focus}_{1}

${Focus}_{1}$ :

(0, 1)

$(0, 1)$

{Focus}_{2}

${Focus}_{2}$ :

(0, - 1)

$(0, - 1)$

Exzentrizität:

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

Schritt 10

Gib DEINE Aufgabe ein