Beispiele

4 x^{2} + y^{2} - 16 x + 2 y + 13 = 0

$4 x^{2} + y^{2} - 16 x + 2 y + 13 = 0$

Schritt 1

Subtrahiere

13

$13$ von beiden Seiten der Gleichung.

4 x^{2} + y^{2} - 16 x + 2 y = - 13

$4 x^{2} + y^{2} - 16 x + 2 y = - 13$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung auf

4 x^{2} - 16 x

$4 x^{2} - 16 x$ an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Wende die Form

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für

a

$a$ ,

b

$b$ und

c

$c$ zu ermitteln.

a = 4

$a = 4$

b = - 16

$b = - 16$

c = 0

$c = 0$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von

d

$d$ mithilfe der Formel

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Setze die Werte von

a

$a$ und

b

$b$ in die Formel

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ ein.

d = \frac{- 16}{2 \cdot 4}

$d = \frac{- 16}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von

- 16

$- 16$ und

2

$2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

- 16

$- 16$ heraus.

d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.2.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

2 \cdot 4

$2 \cdot 4$ heraus.

d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (4)}

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (4)}$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 8}{4}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von

$- 8$ und

$4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.2.1

Faktorisiere

$4$ aus

$- 8$ heraus.

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4}$

Schritt 2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.2.2.1

Faktorisiere

$4$ aus

$4$ heraus.

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)}$

Schritt 2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 2}{1}$

Schritt 2.3.2.2.2.4

Dividiere

$- 2$ durch

$1$ .

$d = - 2$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von

$e$ mithilfe der Formel

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Setze die Werte von

$c$ ,

$b$ , und

$a$ in die Formel

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 16)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.1

Potenziere

$- 16$ mit

$2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 4}$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere

$4$ mit

$4$ .

$e = 0 - \frac{256}{16}$

Schritt 2.4.2.1.3

Dividiere

$256$ durch

$16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Schritt 2.4.2.1.4

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$16$ .

$e = 0 - 16$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere

$16$ von

$0$ .

$e = - 16$

Schritt 2.5

Setze die Werte von

$a$ ,

$d$ und

$e$ in die Scheitelform

$4 {(x - 2)}^{2} - 16$ ein.

$4 {(x - 2)}^{2} - 16$

Schritt 3

Setze

$4 {(x - 2)}^{2} - 16$ für

$4 x^{2} - 16 x$ ein in der Gleichung

$4 x^{2} + y^{2} - 16 x + 2 y = - 13$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 16 + y^{2} + 2 y = - 13$

Schritt 4

Bringe

$- 16$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von

$16$ auf beiden Seiten.

$4 {(x - 2)}^{2} + y^{2} + 2 y = - 13 + 16$

Schritt 5

Wende die quadratische Ergänzung auf

$y^{2} + 2 y$ an.

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Schritt 5.1

Wende die Form

$a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für

$a$ ,

$b$ und

$c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

Schritt 5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 5.3

Ermittle den Wert von

$d$ mithilfe der Formel

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Setze die Werte von

$a$ und

$b$ in die Formel

$d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = 1$

Schritt 5.4

Ermittle den Wert von

$e$ mithilfe der Formel

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Setze die Werte von

$c$ ,

$b$ , und

$a$ in die Formel

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1.1

Potenziere

$2$ mit

$2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2.1.2

Mutltipliziere

$4$ mit

$1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Schritt 5.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Schritt 5.4.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Schritt 5.4.2.1.4

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$e = 0 - 1$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere

$1$ von

$0$ .

$e = - 1$

Schritt 5.5

Setze die Werte von

$a$ ,

$d$ und

$e$ in die Scheitelform

${(y + 1)}^{2} - 1$ ein.

${(y + 1)}^{2} - 1$

Schritt 6

Setze

${(y + 1)}^{2} - 1$ für

$y^{2} + 2 y$ ein in der Gleichung

$4 x^{2} + y^{2} - 16 x + 2 y = - 13$ .

$4 {(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} - 1 = - 13 + 16$

Schritt 7

Bringe

$- 1$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von

$1$ auf beiden Seiten.

$4 {(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = - 13 + 16 + 1$

Schritt 8

Vereinfache

$- 13 + 16 + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Addiere

$- 13$ und

$16$ .

$4 {(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 3 + 1$

Schritt 8.2

Addiere

$3$ und

$1$ .

$4 {(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$

Schritt 9

Teile jeden Term durch

$4$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

Schritt 10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich

$1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich

$1$ ist.

${(x - 2)}^{2} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{4} = 1$

Gib DEINE Aufgabe ein