Beispiele

$x^{2} + y^{2} - 8 x - 8 y = - 12$

Schritt 1

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} - 8 x$ an.

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Schritt 1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 8$

$c = 0$

Schritt 1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $2$ .

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

Schritt 1.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 4}{1}$

Schritt 1.3.2.2.4

Dividiere $- 4$ durch $1$ .

$d = - 4$

Schritt 1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Schritt 1.4.2.1.3

Dividiere $64$ durch $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Schritt 1.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$e = 0 - 16$

Schritt 1.4.2.2

Subtrahiere $16$ von $0$ .

$e = - 16$

Schritt 1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x - 4)}^{2} - 16$ ein.

${(x - 4)}^{2} - 16$

Schritt 2

Setze ${(x - 4)}^{2} - 16$ für $x^{2} - 8 x$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - 8 x - 8 y = - 12$ .

${(x - 4)}^{2} - 16 + y^{2} - 8 y = - 12$

Schritt 3

Bringe $- 16$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $16$ auf beiden Seiten.

${(x - 4)}^{2} + y^{2} - 8 y = - 12 + 16$

Schritt 4

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} - 8 y$ an.

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Schritt 4.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 8$

$c = 0$

Schritt 4.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 4.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 4.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $2$ .

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

Schritt 4.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 4}{1}$

Schritt 4.3.2.2.4

Dividiere $- 4$ durch $1$ .

$d = - 4$

Schritt 4.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 4.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.2.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Schritt 4.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Schritt 4.4.2.1.3

Dividiere $64$ durch $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Schritt 4.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$e = 0 - 16$

Schritt 4.4.2.2

Subtrahiere $16$ von $0$ .

$e = - 16$

Schritt 4.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y - 4)}^{2} - 16$ ein.

${(y - 4)}^{2} - 16$

Schritt 5

Setze ${(y - 4)}^{2} - 16$ für $y^{2} - 8 y$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - 8 x - 8 y = - 12$ .

${(x - 4)}^{2} + {(y - 4)}^{2} - 16 = - 12 + 16$

Schritt 6

Bringe $- 16$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $16$ auf beiden Seiten.

${(x - 4)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = - 12 + 16 + 16$

Schritt 7

Vereinfache $- 12 + 16 + 16$ .

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Schritt 7.1

Addiere $- 12$ und $16$ .

${(x - 4)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4 + 16$

Schritt 7.2

Addiere $4$ und $16$ .

${(x - 4)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 20$

Gib DEINE Aufgabe ein