Beispiele

f (x) = - x^{2} - 5 x - 5

$f (x) = - x^{2} - 5 x - 5$

Schritt 1

Schreibe

f (x) = - x^{2} - 5 x - 5

$f (x) = - x^{2} - 5 x - 5$ als Gleichung.

y = - x^{2} - 5 x - 5

$y = - x^{2} - 5 x - 5$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 2.1

Wende die quadratische Ergänzung auf

- x^{2} - 5 x - 5

$- x^{2} - 5 x - 5$ an.

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Schritt 2.1.1

Wende die Form

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für

a

$a$ ,

b

$b$ und

c

$c$ zu ermitteln.

a = - 1

$a = - 1$

b = - 5

$b = - 5$

c = - 5

$c = - 5$

Schritt 2.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.1.3

Ermittle den Wert von

d

$d$ mithilfe der Formel

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1.3.1

Setze die Werte von

a

$a$ und

b

$b$ in die Formel

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ ein.

d = \frac{- 5}{2 \cdot - 1}

$d = \frac{- 5}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.3.2.1

Mutltipliziere

2

$2$ mit

- 1

$- 1$ .

d = \frac{- 5}{- 2}

$d = \frac{- 5}{- 2}$

Schritt 2.1.3.2.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

d = \frac{5}{2}

$d = \frac{5}{2}$

d = \frac{5}{2}

$d = \frac{5}{2}$

d = \frac{5}{2}

$d = \frac{5}{2}$

Schritt 2.1.4

Ermittle den Wert von

e

$e$ mithilfe der Formel

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.1.4.1

Setze die Werte von

c

$c$ ,

b

$b$ , und

a

$a$ in die Formel

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

e = - 5 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot - 1}

$e = - 5 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 2.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.4.2.1.1

Potenziere

- 5

$- 5$ mit

2

$2$ .

e = - 5 - \frac{25}{4 \cdot - 1}

$e = - 5 - \frac{25}{4 \cdot - 1}$

Schritt 2.1.4.2.1.2

Mutltipliziere

4

$4$ mit

- 1

$- 1$ .

e = - 5 - \frac{25}{- 4}

$e = - 5 - \frac{25}{- 4}$

Schritt 2.1.4.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

e = - 5 - - \frac{25}{4}

$e = - 5 - - \frac{25}{4}$

Schritt 2.1.4.2.1.4

Multipliziere

- - \frac{25}{4}

$- - \frac{25}{4}$ .

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Schritt 2.1.4.2.1.4.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 1

$- 1$ .

e = - 5 + 1 (\frac{25}{4})

$e = - 5 + 1 (\frac{25}{4})$

Schritt 2.1.4.2.1.4.2

Mutltipliziere

\frac{25}{4}

$\frac{25}{4}$ mit

1

$1$ .

e = - 5 + \frac{25}{4}

$e = - 5 + \frac{25}{4}$

e = - 5 + \frac{25}{4}

$e = - 5 + \frac{25}{4}$

e = - 5 + \frac{25}{4}

$e = - 5 + \frac{25}{4}$

Schritt 2.1.4.2.2

- 5

$- 5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

e = - 5 \cdot \frac{4}{4} + \frac{25}{4}

$e = - 5 \cdot \frac{4}{4} + \frac{25}{4}$

Schritt 2.1.4.2.3

Kombiniere

- 5

$- 5$ und

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

e = \frac{- 5 \cdot 4}{4} + \frac{25}{4}

$e = \frac{- 5 \cdot 4}{4} + \frac{25}{4}$

Schritt 2.1.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

e = \frac{- 5 \cdot 4 + 25}{4}

$e = \frac{- 5 \cdot 4 + 25}{4}$

Schritt 2.1.4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.4.2.5.1

Mutltipliziere

- 5

$- 5$ mit

4

$4$ .

e = \frac{- 20 + 25}{4}

$e = \frac{- 20 + 25}{4}$

Schritt 2.1.4.2.5.2

Addiere

- 20

$- 20$ und

25

$25$ .

e = \frac{5}{4}

$e = \frac{5}{4}$

e = \frac{5}{4}

$e = \frac{5}{4}$

e = \frac{5}{4}

$e = \frac{5}{4}$

e = \frac{5}{4}

$e = \frac{5}{4}$

Schritt 2.1.5

Setze die Werte von

a

$a$ ,

d

$d$ und

e

$e$ in die Scheitelform

- {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}

$- {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}$ ein.

- {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}

$- {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}$

- {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}

$- {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}$

Schritt 2.2

Setze

y

$y$ gleich der neuen rechten Seite.

y = - {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}

$y = - {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}$

y = - {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}

$y = - {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}$

Schritt 3

Benutze die Scheitelpunktform,

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von

a

$a$ ,

h

$h$ und

k

$k$ zu ermitteln.

a = - 1

$a = - 1$

h = - \frac{5}{2}

$h = - \frac{5}{2}$

k = \frac{5}{4}

$k = \frac{5}{4}$

Schritt 4

Da der Wert von

a

$a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 5

Ermittle den Scheitelpunkt

(h, k)

$(h, k)$ .

(- \frac{5}{2}, \frac{5}{4})

$(- \frac{5}{2}, \frac{5}{4})$

Schritt 6

Berechne

p

$p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 6.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

\frac{1}{4 a}

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 6.2

Setze den Wert von

a

$a$ in die Formel ein.

\frac{1}{4 \cdot - 1}

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von

1

$1$ und

- 1

$- 1$ .

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Schritt 6.3.1

Schreibe

1

$1$ als

- 1 (- 1)

$- 1 (- 1)$ um.

\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Schritt 6.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4}$

Schritt 7

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 7.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von

$p$ zur y-Koordinate

$k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von

$h$ ,

$p$ und

$k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- \frac{5}{2}, 1)$

Schritt 8

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = - \frac{5}{2}$

Schritt 9

Finde die Leitlinie.

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Schritt 9.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von

$p$ von der y-Koordinate

$k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte von

$p$ und

$k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = \frac{3}{2}$

Schritt 10

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt:

$(- \frac{5}{2}, \frac{5}{4})$

Brennpunkt:

$(- \frac{5}{2}, 1)$

Symmetrieachse:

$x = - \frac{5}{2}$

Leitlinie:

$y = \frac{3}{2}$

Schritt 11

Gib DEINE Aufgabe ein