Beispiele

$A = [\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 1

Die Dimension des Nullraums ist das Gleiche wie die Anzahl freier Variablen im System nach Reduzierung der Zeilenzahl. Die freien Variablen sind die Spalten ohne Pivotpositionen.

Schritt 2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Multipliziere jedes Element von $R_{1}$ mit $\frac{1}{3}$ , um den Eintrag in $1, 1$ mit $1$ vorzunehmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Multipliziere jedes Element von $R_{1}$ mit $\frac{1}{3}$ , um den Eintrag in $1, 1$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{5}{3} & \frac{0}{3} \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 2.2

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $2, 1$ mit $0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $2, 1$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 7 - 7 \cdot 1 & 5 - 7 (\frac{5}{3}) & 0 - 7 \cdot 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 2.3

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in $3, 1$ mit $0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in $3, 1$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 \\ 1 - 1 & 1 - \frac{5}{3} & 0 - 0 \end{array}]$

Schritt 2.3.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{array}]$

Schritt 2.4

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $- \frac{3}{20}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $- \frac{3}{20}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ - \frac{3}{20} \cdot 0 & - \frac{3}{20} (- \frac{20}{3}) & - \frac{3}{20} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{array}]$

Schritt 2.4.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{array}]$

Schritt 2.5

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}$ aus, um den Eintrag in $3, 2$ mit $0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}$ aus, um den Eintrag in $3, 2$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 2.5.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 2.6

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} - \frac{5}{3} R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} - \frac{5}{3} R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{5}{3} \cdot 0 & \frac{5}{3} - \frac{5}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{5}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 2.6.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3

Die Pivot-Positionen sind die Stellen mit der führenden $1$ in jeder Zeile. Die Pivot-Spalten sind die Spalten, die eine Pivot-Position haben.

Pivot-Positionen: $a_{11}$ und $a_{22}$

Pivot-Spalten: $1$ und $2$

Schritt 4

Die Dimension des Kerns ist die Anzahl der Zeilen ohne Pivot-Position in der Matrix mit Zeilenstufenform.

$1$

Gib DEINE Aufgabe ein