Beispiele

x^{2} - 3 x - 3 = 0

$x^{2} - 3 x - 3 = 0$

Schritt 1

Addiere

3

$3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

x^{2} - 3 x = 3

$x^{2} - 3 x = 3$

Schritt 2

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von

b

$b$ ist.

{(\frac{b}{2})}^{2} = {(- \frac{3}{2})}^{2}

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 3

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

x^{2} - 3 x + {(- \frac{3}{2})}^{2} = 3 + {(- \frac{3}{2})}^{2}

$x^{2} - 3 x + {(- \frac{3}{2})}^{2} = 3 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1.1

Wende die Exponentenregel

{(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf

- \frac{3}{2}

$- \frac{3}{2}$ an.

x^{2} - 3 x + {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} = 3 + {(- \frac{3}{2})}^{2}

$x^{2} - 3 x + {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} = 3 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 4.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf

\frac{3}{2}

$\frac{3}{2}$ an.

x^{2} - 3 x + {(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}} = 3 + {(- \frac{3}{2})}^{2}

$x^{2} - 3 x + {(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}} = 3 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

x^{2} - 3 x + {(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}} = 3 + {(- \frac{3}{2})}^{2}

$x^{2} - 3 x + {(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}} = 3 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 4.1.1.2

Potenziere

- 1

$- 1$ mit

2

$2$ .

x^{2} - 3 x + 1 \frac{3^{2}}{2^{2}} = 3 + {(- \frac{3}{2})}^{2}

$x^{2} - 3 x + 1 \frac{3^{2}}{2^{2}} = 3 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 4.1.1.3

Mutltipliziere

\frac{3^{2}}{2^{2}}

$\frac{3^{2}}{2^{2}}$ mit

1

$1$ .

x^{2} - 3 x + \frac{3^{2}}{2^{2}} = 3 + {(- \frac{3}{2})}^{2}

$x^{2} - 3 x + \frac{3^{2}}{2^{2}} = 3 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 4.1.1.4

Potenziere

3

$3$ mit

2

$2$ .

x^{2} - 3 x + \frac{9}{2^{2}} = 3 + {(- \frac{3}{2})}^{2}

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{2^{2}} = 3 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 4.1.1.5

Potenziere

2

$2$ mit

2

$2$ .

x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = 3 + {(- \frac{3}{2})}^{2}

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = 3 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = 3 + {(- \frac{3}{2})}^{2}

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = 3 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = 3 + {(- \frac{3}{2})}^{2}

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = 3 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache

3 + {(- \frac{3}{2})}^{2}

$3 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Exponentenregel

{(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.2.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf

- \frac{3}{2}

$- \frac{3}{2}$ an.

x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = 3 + {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = 3 + {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 4.2.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf

\frac{3}{2}

$\frac{3}{2}$ an.

x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = 3 + {(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}}

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = 3 + {(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}}$

x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = 3 + {(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}}

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = 3 + {(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.2

Potenziere

- 1

$- 1$ mit

2

$2$ .

x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = 3 + 1 \frac{3^{2}}{2^{2}}

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = 3 + 1 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.3

Mutltipliziere

\frac{3^{2}}{2^{2}}

$\frac{3^{2}}{2^{2}}$ mit

1

$1$ .

x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = 3 + \frac{3^{2}}{2^{2}}

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = 3 + \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.4

Potenziere

3

$3$ mit

2

$2$ .

x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = 3 + \frac{9}{2^{2}}

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = 3 + \frac{9}{2^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.5

Potenziere

2

$2$ mit

2

$2$ .

x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = 3 + \frac{9}{4}

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = 3 + \frac{9}{4}$

x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = 3 + \frac{9}{4}

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = 3 + \frac{9}{4}$

Schritt 4.2.1.2

3

$3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = 3 \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{4}

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = 3 \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{4}$

Schritt 4.2.1.3

Kombiniere

3

$3$ und

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{9}{4}

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{9}{4}$

Schritt 4.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 9}{4}

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 9}{4}$

Schritt 4.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.5.1

Mutltipliziere

3

$3$ mit

4

$4$ .

x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{12 + 9}{4}

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{12 + 9}{4}$

Schritt 4.2.1.5.2

Addiere

12

$12$ und

9

$9$ .

x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{21}{4}

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{21}{4}$

x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{21}{4}

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{21}{4}$

x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{21}{4}

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{21}{4}$

x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{21}{4}

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{21}{4}$

x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{21}{4}

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{21}{4}$

Schritt 5

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu

{(x - \frac{3}{2})}^{2}

${(x - \frac{3}{2})}^{2}$ .

{(x - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{21}{4}

${(x - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{21}{4}$

Schritt 6

Löse die Gleichung nach

x

$x$ auf.

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Schritt 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

x - \frac{3}{2} = \pm \sqrt{\frac{21}{4}}

$x - \frac{3}{2} = \pm \sqrt{\frac{21}{4}}$

Schritt 6.2

Vereinfache

\pm \sqrt{\frac{21}{4}}

$\pm \sqrt{\frac{21}{4}}$ .

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Schritt 6.2.1

Schreibe

\sqrt{\frac{21}{4}}

$\sqrt{\frac{21}{4}}$ als

\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{4}}

$\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{4}}$ um.

x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{4}}

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{4}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe

4

$4$ als

2^{2}

$2^{2}$ um.

x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{2^{2}}}

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 6.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{21}}{2}

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{21}}{2}$

x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{21}}{2}

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{21}}{2}$

x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{21}}{2}

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{21}}{2}$

Schritt 6.3

Addiere

\frac{3}{2}

$\frac{3}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

x = \pm \frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{3}{2}

$x = \pm \frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{3}{2}$

x = \pm \frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{3}{2}

$x = \pm \frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

x = \pm \frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{3}{2}

$x = \pm \frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{3}{2}$

Dezimalform:

x = 3.79128784 \dots, - 0.79128784 \dots

$x = 3.79128784 \dots, - 0.79128784 \dots$

Gib DEINE Aufgabe ein