Beispiele

$y = x^{2} - 6 x + 16$

Schritt 1

Setze $0$ für $y$ ein.

$0 = x^{2} - 6 x + 16$

Schritt 2

Bringe die Gleichung durch Vereinfachen in eine geeignete Form, um die quadratische Ergänzung anzuwenden.

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Schritt 2.1

Entferne die Klammern.

$0 = x^{2} - 6 x + 16$

Schritt 2.2

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} - 6 x + 16 = 0$

Schritt 2.3

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 6 x = - 16$

Schritt 3

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Schritt 4

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} - 6 x + {(- 3)}^{2} = - 16 + {(- 3)}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = - 16 + {(- 3)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $- 16 + {(- 3)}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = - 16 + 9$

Schritt 5.2.1.2

Addiere $- 16$ und $9$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = - 7$

Schritt 6

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x - 3)}^{2}$ .

${(x - 3)}^{2} = - 7$

Schritt 7

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x - 3 = \pm \sqrt{- 7}$

Schritt 7.2

Vereinfache $\pm \sqrt{- 7}$ .

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Schritt 7.2.1

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$x - 3 = \pm \sqrt{- 1 (7)}$

Schritt 7.2.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (7)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ um.

$x - 3 = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$

Schritt 7.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x - 3 = \pm i \sqrt{7}$

Schritt 7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x - 3 = i \sqrt{7}$

Schritt 7.3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = i \sqrt{7} + 3$

Schritt 7.3.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x - 3 = - i \sqrt{7}$

Schritt 7.3.4

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - i \sqrt{7} + 3$

Schritt 7.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{7} + 3, - i \sqrt{7} + 3$

Gib DEINE Aufgabe ein