Beispiele

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 3 & 6 & - 1 & 1 & - 7 1 & - 2 & 2 & 3 & - 1 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 3 & 6 & - 1 & 1 & - 7 \\ 1 & - 2 & 2 & 3 & - 1 \\ 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 \end{array}]$

Schritt 1

Schreibe als eine erweiterte Matrix für

A x = 0

$A x = 0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 3 & 6 & - 1 & 1 & - 7 & 0 1 & - 2 & 2 & 3 & - 1 & 0 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 3 & 6 & - 1 & 1 & - 7 & 0 \\ 1 & - 2 & 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 & 0 \end{array}]$

Schritt 2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Multipliziere jedes Element von

R_{1}

$R_{1}$ mit

- \frac{1}{3}

$- \frac{1}{3}$ , um den Eintrag in

1, 1

$1, 1$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Multipliziere jedes Element von

R_{1}

$R_{1}$ mit

- \frac{1}{3}

$- \frac{1}{3}$ , um den Eintrag in

1, 1

$1, 1$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 6 & - \frac{1}{3} \cdot - 1 & - \frac{1}{3} \cdot 1 & - \frac{1}{3} \cdot - 7 & - \frac{1}{3} \cdot 0 1 & - 2 & 2 & 3 & - 1 & 0 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 6 & - \frac{1}{3} \cdot - 1 & - \frac{1}{3} \cdot 1 & - \frac{1}{3} \cdot - 7 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 1 & - 2 & 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 & 0 \end{array}]$

Schritt 2.1.2

Vereinfache

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 1 & - 2 & 2 & 3 & - 1 & 0 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 1 & - 2 & 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 1 & - 2 & 2 & 3 & - 1 & 0 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 1 & - 2 & 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 & 0 \end{array}]$

Schritt 2.2

Führe die Zeilenumformung

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in

2, 1

$2, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Führe die Zeilenumformung

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in

2, 1

$2, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 1 - 1 & - 2 + 2 & 2 - \frac{1}{3} & 3 + \frac{1}{3} & - 1 - \frac{7}{3} & 0 - 0 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 1 - 1 & - 2 + 2 & 2 - \frac{1}{3} & 3 + \frac{1}{3} & - 1 - \frac{7}{3} & 0 - 0 \\ 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 & 0 \end{array}]$

Schritt 2.2.2

Vereinfache

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 0 & 0 & \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & - \frac{10}{3} & 0 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & - \frac{10}{3} & 0 \\ 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 0 & 0 & \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & - \frac{10}{3} & 0 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & - \frac{10}{3} & 0 \\ 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 & 0 \end{array}]$

Schritt 2.3

Führe die Zeilenumformung

R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

3, 1

$3, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Führe die Zeilenumformung

R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

3, 1

$3, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 0 & 0 & \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & - \frac{10}{3} & 0 2 - 2 \cdot 1 & - 4 - 2 \cdot - 2 & 5 - 2 (\frac{1}{3}) & 8 - 2 (- \frac{1}{3}) & - 4 - 2 (\frac{7}{3}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & - \frac{10}{3} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 4 - 2 \cdot - 2 & 5 - 2 (\frac{1}{3}) & 8 - 2 (- \frac{1}{3}) & - 4 - 2 (\frac{7}{3}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 2.3.2

Vereinfache

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 0 & 0 & \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & - \frac{10}{3} & 0 0 & 0 & \frac{13}{3} & \frac{26}{3} & - \frac{26}{3} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & - \frac{10}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{13}{3} & \frac{26}{3} & - \frac{26}{3} & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 0 & 0 & \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & - \frac{10}{3} & 0 0 & 0 & \frac{13}{3} & \frac{26}{3} & - \frac{26}{3} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Schritt 2.4

Multipliziere jedes Element von

R_{2}

$R_{2}$ mit

\frac{3}{5}

$\frac{3}{5}$ , um den Eintrag in

2, 3

$2, 3$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

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Schritt 2.4.1

Multipliziere jedes Element von

R_{2}

$R_{2}$ mit

\frac{3}{5}

$\frac{3}{5}$ , um den Eintrag in

2, 3

$2, 3$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \frac{3}{5} \cdot 0 & \frac{3}{5} \cdot 0 & \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3} & \frac{3}{5} \cdot \frac{10}{3} & \frac{3}{5} (- \frac{10}{3}) & \frac{3}{5} \cdot 0 0 & 0 & \frac{13}{3} & \frac{26}{3} & - \frac{26}{3} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ \frac{3}{5} \cdot 0 & \frac{3}{5} \cdot 0 & \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3} & \frac{3}{5} \cdot \frac{10}{3} & \frac{3}{5} (- \frac{10}{3}) & \frac{3}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & \frac{13}{3} & \frac{26}{3} & - \frac{26}{3} & 0 \end{array}]$

Schritt 2.4.2

Vereinfache

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 0 & 0 & 1 & 2 & - 2 & 0 0 & 0 & \frac{13}{3} & \frac{26}{3} & - \frac{26}{3} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{13}{3} & \frac{26}{3} & - \frac{26}{3} & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 0 & 0 & 1 & 2 & - 2 & 0 0 & 0 & \frac{13}{3} & \frac{26}{3} & - \frac{26}{3} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{13}{3} & \frac{26}{3} & - \frac{26}{3} & 0 \end{array}]$

Schritt 2.5

Führe die Zeilenumformung

R_{3} = R_{3} - \frac{13}{3} R_{2}

$R_{3} = R_{3} - \frac{13}{3} R_{2}$ aus, um den Eintrag in

3, 3

$3, 3$ mit

0

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Führe die Zeilenumformung

R_{3} = R_{3} - \frac{13}{3} R_{2}

$R_{3} = R_{3} - \frac{13}{3} R_{2}$ aus, um den Eintrag in

3, 3

$3, 3$ mit

0

$0$ zu machen.

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 0 & 0 & 1 & 2 & - 2 & 0 0 - \frac{13}{3} \cdot 0 & 0 - \frac{13}{3} \cdot 0 & \frac{13}{3} - \frac{13}{3} \cdot 1 & \frac{26}{3} - \frac{13}{3} \cdot 2 & - \frac{26}{3} - \frac{13}{3} \cdot - 2 & 0 - \frac{13}{3} \cdot 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - 2 & 0 \\ 0 - \frac{13}{3} \cdot 0 & 0 - \frac{13}{3} \cdot 0 & \frac{13}{3} - \frac{13}{3} \cdot 1 & \frac{26}{3} - \frac{13}{3} \cdot 2 & - \frac{26}{3} - \frac{13}{3} \cdot - 2 & 0 - \frac{13}{3} \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 2.5.2

Vereinfache

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 0 & 0 & 1 & 2 & - 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 0 & 0 & 1 & 2 & - 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 2.6

Führe die Zeilenumformung

R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{2}

$R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{2}$ aus, um den Eintrag in

1, 3

$1, 3$ mit

0

$0$ zu machen.

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Schritt 2.6.1

Führe die Zeilenumformung

R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{2}

$R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$1, 3$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{3} \cdot 0 & - 2 - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 & - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2 & \frac{7}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 2 & 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 2.6.2

Vereinfache

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & - 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x_{1} - 2 x_{2} - x_{4} + 3 x_{5} = 0$

$x_{3} + 2 x_{4} - 2 x_{5} = 0$

$0 = 0$

Schritt 4

Schreibe einen Lösungsvektor durch Lösung der freien Variablen in jeder Zeile.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 x_{2} + x_{4} - 3 x_{5} \\ x_{2} \\ - 2 x_{4} + 2 x_{5} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{array}]$

Schritt 5

Schreibe die Lösung als Linearkombination von Vektoren.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{array}] = x_{2} [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}] + x_{5} [\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Schritt 6

Schreibe als eine Lösungsmenge.

${x_{2} [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}] + x_{5} [\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | x_{2}, x_{4}, x_{5} \in R}$

Schritt 7

Die Lösung ist die Menge der Vektoren, die aus den freien Variablen des Systems erzeugt werden.

${[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 8

Prüfe, ob die Vektoren linear unabhängig sind.

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Schritt 8.1

Liste die Vektoren auf.

$[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Schritt 8.2

Schreibe die Vektoren als eine Matrix.

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & - 3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 8.3

Um zu bestimmen, ob die Spalten in der Matrix linear abhängig sind, ermittle, ob es für die Gleichung

$A x = 0$ irgendeine nichttriviale Lösung gibt.

Schritt 8.4

Schreibe als eine erweiterte Matrix für

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & - 3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 8.5

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 8.5.1

Multipliziere jedes Element von

$R_{1}$ mit

$\frac{1}{2}$ , um den Eintrag in

$1, 1$ mit

$1$ vorzunehmen.

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Schritt 8.5.1.1

Multipliziere jedes Element von

$R_{1}$ mit

$\frac{1}{2}$ , um den Eintrag in

$1, 1$ mit

$1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{- 3}{2} & \frac{0}{2} \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 8.5.1.2

Vereinfache

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 8.5.2

Führe die Zeilenumformung

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in

$2, 1$ mit

$0$ zu machen.

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Schritt 8.5.2.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in

$2, 1$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 1 - 1 & 0 - \frac{1}{2} & 0 + \frac{3}{2} & 0 - 0 \\ 0 & - 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 8.5.2.2

Vereinfache

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & - 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 8.5.3

Multipliziere jedes Element von

$R_{2}$ mit

$- 2$ , um den Eintrag in

$2, 2$ mit

$1$ vorzunehmen.

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Schritt 8.5.3.1

Multipliziere jedes Element von

$R_{2}$ mit

$- 2$ , um den Eintrag in

$2, 2$ mit

$1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 (- \frac{1}{2}) & - 2 (\frac{3}{2}) & - 2 \cdot 0 \\ 0 & - 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 8.5.3.2

Vereinfache

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & - 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 8.5.4

Führe die Zeilenumformung

$R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$3, 2$ mit

$0$ zu machen.

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Schritt 8.5.4.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$3, 2$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & 2 + 2 \cdot - 3 & 0 + 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 8.5.4.2

Vereinfache

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 8.5.5

Führe die Zeilenumformung

$R_{4} = R_{4} - R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$4, 2$ mit

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.5.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{4} = R_{4} - R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$4, 2$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 + 3 & 0 - 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 8.5.5.2

Vereinfache

$R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 8.5.6

Multipliziere jedes Element von

$R_{3}$ mit

$- \frac{1}{4}$ , um den Eintrag in

$3, 3$ mit

$1$ vorzunehmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.6.1

Multipliziere jedes Element von

$R_{3}$ mit

$- \frac{1}{4}$ , um den Eintrag in

$3, 3$ mit

$1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ - \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} \cdot - 4 & - \frac{1}{4} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 8.5.6.2

Vereinfache

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 8.5.7

Führe die Zeilenumformung

$R_{4} = R_{4} - 3 R_{3}$ aus, um den Eintrag in

$4, 3$ mit

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.7.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{4} = R_{4} - 3 R_{3}$ aus, um den Eintrag in

$4, 3$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 - 3 \cdot 0 & 0 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 8.5.7.2

Vereinfache

$R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 8.5.8

Führe die Zeilenumformung

$R_{5} = R_{5} - R_{3}$ aus, um den Eintrag in

$5, 3$ mit

$0$ zu machen.

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Schritt 8.5.8.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{5} = R_{5} - R_{3}$ aus, um den Eintrag in

$5, 3$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \end{array}]$

Schritt 8.5.8.2

Vereinfache

$R_{5}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 8.5.9

Führe die Zeilenumformung

$R_{2} = R_{2} + 3 R_{3}$ aus, um den Eintrag in

$2, 3$ mit

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.9.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{2} = R_{2} + 3 R_{3}$ aus, um den Eintrag in

$2, 3$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 + 3 \cdot 0 & 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 8.5.9.2

Vereinfache

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 8.5.10

Führe die Zeilenumformung

$R_{1} = R_{1} + \frac{3}{2} R_{3}$ aus, um den Eintrag in

$1, 3$ mit

$0$ zu machen.

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Schritt 8.5.10.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{1} = R_{1} + \frac{3}{2} R_{3}$ aus, um den Eintrag in

$1, 3$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{3}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \cdot 1 & 0 + \frac{3}{2} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 8.5.10.2

Vereinfache

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 8.5.11

Führe die Zeilenumformung

$R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$1, 2$ mit

$0$ zu machen.

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Schritt 8.5.11.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$1, 2$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 8.5.11.2

Vereinfache

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 8.6

Entferne Zeilen, die nur Nullen enthalten.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 8.7

Schreibe die Matrix als lineares Gleichungssystem.

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

Schritt 8.8

Da die einzige Lösung für

$A x = 0$ die triviale Lösung ist, sind die Vektoren linear unabhängig.

Linear unabhängig

Schritt 9

Da die Vektoren linear unabhängig sind, bilden sie eine Basis für den Nullraum der Matrix.

Basis von

$Nul (A)$ :

${[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Dimension von

$Nul (A)$ :

$3$

Gib DEINE Aufgabe ein