Beispiele

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 3 & 7 & - 1 \\ - 2 & 1 & 12 \end{array}]$

Schritt 1

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 1.1

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $2, 1$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 1.1.1

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $2, 1$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 7 - 3 \cdot 4 & - 1 - 3 \cdot 3 \\ - 2 & 1 & 12 \end{array}]$

Schritt 1.1.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & - 5 & - 10 \\ - 2 & 1 & 12 \end{array}]$

Schritt 1.2

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $3, 1$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 1.2.1

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $3, 1$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & - 5 & - 10 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 \cdot 4 & 12 + 2 \cdot 3 \end{array}]$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & - 5 & - 10 \\ 0 & 9 & 18 \end{array}]$

Schritt 1.3

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $- \frac{1}{5}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 1.3.1

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $- \frac{1}{5}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot - 10 \\ 0 & 9 & 18 \end{array}]$

Schritt 1.3.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 9 & 18 \end{array}]$

Schritt 1.4

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} - 9 R_{2}$ aus, um den Eintrag in $3, 2$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 1.4.1

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} - 9 R_{2}$ aus, um den Eintrag in $3, 2$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 - 9 \cdot 0 & 9 - 9 \cdot 1 & 18 - 9 \cdot 2 \end{array}]$

Schritt 1.4.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.5

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} - 4 R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 1.5.1

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} - 4 R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & 3 - 4 \cdot 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.5.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 2

Die Pivot-Positionen sind die Stellen mit der führenden $1$ in jeder Zeile. Die Pivot-Spalten sind die Spalten, die eine Pivot-Position haben.

Pivot-Positionen: $a_{11}$ und $a_{22}$

Pivot-Spalten: $1$ und $2$

Schritt 3

Die Basis für den Spaltenraum einer Matrix wird durch Berücksichtigung der entsprechenden Pivot-Spalten in der ursprünglichen Matrix gebildet. Die Dimension von $Col (A)$ ist die Anzahl der Vektoren in einer Basis für $Col (A)$ .

Basis von $Col (A)$ : ${[\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array}], [\begin{array}{c} 4 \\ 7 \\ 1 \end{array}]}$

Dimension von $Col (A)$ : $2$

Gib DEINE Aufgabe ein