Beispiele
f(x)=x3f(x)=x3
Schritt 1
Schreibe f(x)=x3f(x)=x3 als Gleichung.
y=x3y=x3
Schritt 2
Vertausche die Variablen.
x=y3x=y3
Schritt 3
Schritt 3.1
Schreibe die Gleichung als y3=xy3=x um.
y3=xy3=x
Schritt 3.2
Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.
y=3√xy=3√x
y=3√xy=3√x
Schritt 4
Ersetze yy durch f-1(x)f−1(x), um die endgültige Lösung anzuzeigen.
f-1(x)=3√xf−1(x)=3√x
Schritt 5
Schritt 5.1
Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob f-1(f(x))=xf−1(f(x))=x ist und f(f-1(x))=xf(f−1(x))=x ist.
Schritt 5.2
Berechne f-1(f(x))f−1(f(x)).
Schritt 5.2.1
Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.
f-1(f(x))f−1(f(x))
Schritt 5.2.2
Berechne f-1(x3)f−1(x3) durch Einsetzen des Wertes von ff in f-1f−1.
f-1(x3)=3√x3f−1(x3)=3√x3
Schritt 5.2.3
Entferne die Klammern.
f-1(x3)=3√x3f−1(x3)=3√x3
Schritt 5.2.4
Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.
f-1(x3)=xf−1(x3)=x
f-1(x3)=xf−1(x3)=x
Schritt 5.3
Berechne f(f-1(x))f(f−1(x)).
Schritt 5.3.1
Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.
f(f-1(x))f(f−1(x))
Schritt 5.3.2
Berechne f(3√x)f(3√x) durch Einsetzen des Wertes von f-1f−1 in ff.
f(3√x)=(3√x)3f(3√x)=(3√x)3
Schritt 5.3.3
Schreibe 3√x33√x3 als xx um.
Schritt 5.3.3.1
Benutze n√ax=axnn√ax=axn, um 3√x3√x als x13x13 neu zu schreiben.
f(3√x)=(x13)3f(3√x)=(x13)3
Schritt 5.3.3.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, (am)n=amn(am)n=amn.
f(3√x)=x13⋅3f(3√x)=x13⋅3
Schritt 5.3.3.3
Kombiniere 1313 und 33.
f(3√x)=x33f(3√x)=x33
Schritt 5.3.3.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von 33.
Schritt 5.3.3.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
f(3√x)=x33f(3√x)=x33
Schritt 5.3.3.4.2
Forme den Ausdruck um.
f(3√x)=xf(3√x)=x
f(3√x)=xf(3√x)=x
Schritt 5.3.3.5
Vereinfache.
f(3√x)=xf(3√x)=x
f(3√x)=xf(3√x)=x
f(3√x)=xf(3√x)=x
Schritt 5.4
Da f-1(f(x))=xf−1(f(x))=x und f(f-1(x))=xf(f−1(x))=x gleich sind, ist f-1(x)=3√xf−1(x)=3√x die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von f(x)=x3f(x)=x3.
f-1(x)=3√xf−1(x)=3√x
f-1(x)=3√xf−1(x)=3√x
