Beispiele

f (x) = x^{2} - x^{3} + 4 x

$f (x) = x^{2} - x^{3} + 4 x$

Schritt 1

Ermittle

f (- x)

$f (- x)$ .

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Schritt 1.1

Ermittle

f (- x)

$f (- x)$ durch Einsetzen von

- x

$- x$ in

f (x)

$f (x)$ für jedes

x

$x$ .

f (- x) = {(- x)}^{2} - {(- x)}^{3} + 4 (- x)

$f (- x) = {(- x)}^{2} - {(- x)}^{3} + 4 (- x)$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1

Wende die Produktregel auf

- x

$- x$ an.

f (- x) = {(- 1)}^{2} x^{2} - {(- x)}^{3} + 4 (- x)

$f (- x) = {(- 1)}^{2} x^{2} - {(- x)}^{3} + 4 (- x)$

Schritt 1.2.2

Potenziere

- 1

$- 1$ mit

2

$2$ .

f (- x) = 1 x^{2} - {(- x)}^{3} + 4 (- x)

$f (- x) = 1 x^{2} - {(- x)}^{3} + 4 (- x)$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere

x^{2}

$x^{2}$ mit

1

$1$ .

f (- x) = x^{2} - {(- x)}^{3} + 4 (- x)

$f (- x) = x^{2} - {(- x)}^{3} + 4 (- x)$

Schritt 1.2.4

Wende die Produktregel auf

- x

$- x$ an.

f (- x) = x^{2} - ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 4 (- x)

$f (- x) = x^{2} - ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 4 (- x)$

Schritt 1.2.5

Multipliziere

- 1

$- 1$ mit

{(- 1)}^{3}

${(- 1)}^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.5.1

Bewege

{(- 1)}^{3}

${(- 1)}^{3}$ .

f (- x) = x^{2} + {(- 1)}^{3} \cdot (- 1 x^{3}) + 4 (- x)

$f (- x) = x^{2} + {(- 1)}^{3} \cdot (- 1 x^{3}) + 4 (- x)$

Schritt 1.2.5.2

Mutltipliziere

{(- 1)}^{3}

${(- 1)}^{3}$ mit

- 1

$- 1$ .

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Schritt 1.2.5.2.1

Potenziere

- 1

$- 1$ mit

1

$1$ .

f (- x) = x^{2} + {(- 1)}^{3} \cdot ((- 1) x^{3}) + 4 (- x)

$f (- x) = x^{2} + {(- 1)}^{3} \cdot ((- 1) x^{3}) + 4 (- x)$

Schritt 1.2.5.2.2

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

f (- x) = x^{2} + {(- 1)}^{3 + 1} x^{3} + 4 (- x)

$f (- x) = x^{2} + {(- 1)}^{3 + 1} x^{3} + 4 (- x)$

f (- x) = x^{2} + {(- 1)}^{3 + 1} x^{3} + 4 (- x)

$f (- x) = x^{2} + {(- 1)}^{3 + 1} x^{3} + 4 (- x)$

Schritt 1.2.5.3

Addiere

3

$3$ und

1

$1$ .

f (- x) = x^{2} + {(- 1)}^{4} x^{3} + 4 (- x)

$f (- x) = x^{2} + {(- 1)}^{4} x^{3} + 4 (- x)$

f (- x) = x^{2} + {(- 1)}^{4} x^{3} + 4 (- x)

$f (- x) = x^{2} + {(- 1)}^{4} x^{3} + 4 (- x)$

Schritt 1.2.6

Potenziere

- 1

$- 1$ mit

4

$4$ .

f (- x) = x^{2} + 1 x^{3} + 4 (- x)

$f (- x) = x^{2} + 1 x^{3} + 4 (- x)$

Schritt 1.2.7

Mutltipliziere

x^{3}

$x^{3}$ mit

$1$ .

$f (- x) = x^{2} + x^{3} + 4 (- x)$

Schritt 1.2.8

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$4$ .

$f (- x) = x^{2} + x^{3} - 4 x$

Schritt 2

Eine Funktion ist gerade, wenn

$f (- x) = f (x)$ .

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Schritt 2.1

Prüfe, ob

$f (- x) = f (x)$ .

Schritt 2.2

$x^{2} + x^{3} - 4 x$

$\neq$

$x^{2} - x^{3} + 4 x$ , ist die Funktion nicht gerade.

Die Funktion ist nicht gerade

Schritt 3

Eine Funktion ist ungerade, wenn

$f (- x) = - f (x)$ .

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Schritt 3.1

Ermittle

$- f (x)$ .

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere

$x^{2} - x^{3} + 4 x$ mit

$- 1$ .

$- f (x) = - (x^{2} - x^{3} + 4 x)$

Schritt 3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- f (x) = - x^{2} + x^{3} - (4 x)$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere

$4$ mit

$- 1$ .

$- f (x) = - x^{2} + x^{3} - 4 x$

Schritt 3.2

$x^{2} + x^{3} - 4 x$

$\neq$

$- x^{2} + x^{3} - 4 x$ , ist die Funktion nicht ungerade.

Die Funktion ist nicht ungerade

Schritt 4

Die Funktion ist weder ungerade noch gerade

Schritt 5

Gib DEINE Aufgabe ein