Beispiele

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ , $x - 1$

Schritt 1

Dividiere $\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 1}$ mittels synthetischer Division und prüfe, ob der Rest gleich $0$ ist. Wenn der Rest gleich $0$ ist, bedeutet dies, dass $x - 1$ ein Teiler von $x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ ist. Wenn der Rest nicht gleich $0$ ist, bedeutet dies, dass $x - 1$ kein Teiler von $x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ ist.

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Schritt 1.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$1$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$

Schritt 1.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$1$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$

	$1$

Schritt 1.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 2)$ .

$1$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$1$
	$1$

Schritt 1.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$1$
	$1$	$- 1$

Schritt 1.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 1)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 10)$ .

$1$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$1$	$- 1$
	$1$	$- 1$

Schritt 1.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$1$	$- 1$
	$1$	$- 1$	$- 11$

Schritt 1.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 11)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 11)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(7)$ .

$1$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$1$	$- 1$	$- 11$
	$1$	$- 1$	$- 11$

Schritt 1.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$1$	$- 1$	$- 11$
	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$

Schritt 1.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 4)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 4)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(4)$ .

$1$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$
	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$

Schritt 1.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$
	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$	$0$

Schritt 1.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 11) x - 4$

Schritt 1.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$

Schritt 2

Der Rest der Division von $\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 1}$ ist $0$ , was bedeutet, dass $x - 1$ ein Teiler von $x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ ist.

$x - 1$ ist ein Faktor für $x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$

Schritt 3

Finde alle möglichen Wurzeln für $x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$ .

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Schritt 3.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Schritt 3.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

Schritt 4

Setze die nächste Division an, um festzustellen, ob $x - 4$ ein Faktor des Polynoms $x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$ ist.

$\frac{x^{3} - x^{2} - 11 x - 4}{x - 4}$

Schritt 5

Dividiere den Ausdruck mittels synthetischer Division, um festzustellen, ob er ein Teiler des Polynoms ist. Da $x - 4$ $x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$ ohne Rest teilt, ist $x - 4$ ein Teiler des Polynoms und es gibt ein Restpolynom $x^{2} + 3 x + 1$ .

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Schritt 5.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$4$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$

Schritt 5.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$4$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$

	$1$

Schritt 5.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(4)$ und schreibe das Ergebnis von $(4)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$4$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$
		$4$
	$1$

Schritt 5.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$4$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$
		$4$
	$1$	$3$

Schritt 5.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(3)$ mit dem Divisor $(4)$ und schreibe das Ergebnis von $(12)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 11)$ .

$4$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$
		$4$	$12$
	$1$	$3$

Schritt 5.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$4$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$
		$4$	$12$
	$1$	$3$	$1$

Schritt 5.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(4)$ und schreibe das Ergebnis von $(4)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 4)$ .

$4$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$
		$4$	$12$	$4$
	$1$	$3$	$1$

Schritt 5.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$4$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$
		$4$	$12$	$4$
	$1$	$3$	$1$	$0$

Schritt 5.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{2} + 3 x + 1$

Schritt 5.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{2} + 3 x + 1$

Schritt 6

Finde alle möglichen Wurzeln für $x^{2} + 3 x + 1$ .

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Schritt 6.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Schritt 6.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1$

Schritt 7

Der letzte Faktor ist der einzige Faktor, der aus der synthetischen Division übrig geblieben ist.

$x^{2} + 3 x + 1$

Schritt 8

Das faktorisierte Polynom ist $(x - 1) (x - 4) (x^{2} + 3 x + 1)$ .

$(x - 1) (x - 4) (x^{2} + 3 x + 1)$

Gib DEINE Aufgabe ein