Beispiele

(- 1, 2)

$(- 1, 2)$ ,

(5, 2)

$(5, 2)$ ,

(7, 2)

$(7, 2)$

Schritt 1

Es gibt zwei allgemeine Gleichungen für eine Ellipse.

Horizontale Ellipsengleichung

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Vertikale Ellipsengleichung

\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 2

a

$a$ ist der Abstand zwischen dem Scheitelpunkt

(7, 2)

$(7, 2)$ und dem Mittelpunkt

(- 1, 2)

$(- 1, 2)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Wende die Abstandsformel an, um den Abstand zwischen den zwei Punkten zu bestimmen.

Abstand = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}_{2}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}_{2}^{2}}

$Abstand = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Schritt 2.2

Setze die tatsächlichen Werte der Punkte in die Abstandsformel ein.

a = \sqrt{{(7 - (- 1))}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}

$a = \sqrt{{(7 - (- 1))}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 1

$- 1$ .

a = \sqrt{{(7 + 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}

$a = \sqrt{{(7 + 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Addiere

7

$7$ und

1

$1$ .

a = \sqrt{8^{2} + {(2 - 2)}^{2}}

$a = \sqrt{8^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Potenziere

8

$8$ mit

2

$2$ .

a = \sqrt{64 + {(2 - 2)}^{2}}

$a = \sqrt{64 + {(2 - 2)}^{2}}$

Schritt 2.3.4

Subtrahiere

2

$2$ von

2

$2$ .

a = \sqrt{64 + 0^{2}}

$a = \sqrt{64 + 0^{2}}$

Schritt 2.3.5

0

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt

0

$0$ .

a = \sqrt{64 + 0}

$a = \sqrt{64 + 0}$

Schritt 2.3.6

Addiere

64

$64$ und

0

$0$ .

a = \sqrt{64}

$a = \sqrt{64}$

Schritt 2.3.7

Schreibe

64

$64$ als

8^{2}

$8^{2}$ um.

a = \sqrt{8^{2}}

$a = \sqrt{8^{2}}$

Schritt 2.3.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

a = 8

$a = 8$

a = 8

$a = 8$

a = 8

$a = 8$

Schritt 3

c

$c$ ist der Abstand zwischen dem Brennpunkt

(5, 2)

$(5, 2)$ und dem Mittelpunkt

(- 1, 2)

$(- 1, 2)$ .

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Schritt 3.1

Wende die Abstandsformel an, um den Abstand zwischen den zwei Punkten zu bestimmen.

Abstand = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}_{2}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}_{2}^{2}}

$Abstand = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Schritt 3.2

Setze die tatsächlichen Werte der Punkte in die Abstandsformel ein.

c = \sqrt{{(5 - (- 1))}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}

$c = \sqrt{{(5 - (- 1))}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 1

$- 1$ .

c = \sqrt{{(5 + 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}

$c = \sqrt{{(5 + 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Addiere

5

$5$ und

1

$1$ .

c = \sqrt{6^{2} + {(2 - 2)}^{2}}

$c = \sqrt{6^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Potenziere

6

$6$ mit

2

$2$ .

c = \sqrt{36 + {(2 - 2)}^{2}}

$c = \sqrt{36 + {(2 - 2)}^{2}}$

Schritt 3.3.4

Subtrahiere

2

$2$ von

2

$2$ .

c = \sqrt{36 + 0^{2}}

$c = \sqrt{36 + 0^{2}}$

Schritt 3.3.5

0

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt

0

$0$ .

c = \sqrt{36 + 0}

$c = \sqrt{36 + 0}$

Schritt 3.3.6

Addiere

36

$36$ und

0

$0$ .

c = \sqrt{36}

$c = \sqrt{36}$

Schritt 3.3.7

Schreibe

36

$36$ als

6^{2}

$6^{2}$ um.

c = \sqrt{6^{2}}

$c = \sqrt{6^{2}}$

Schritt 3.3.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

c = 6

$c = 6$

c = 6

$c = 6$

c = 6

$c = 6$

Schritt 4

Wir benutzen die Gleichung

c^{2} = a^{2} - b^{2}

$c^{2} = a^{2} - b^{2}$ . Setze

8

$8$ für

a

$a$ und

6

$6$ für

c

$c$ ein.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als

{(8)}^{2} - b^{2} = 6^{2}

${(8)}^{2} - b^{2} = 6^{2}$ um.

{(8)}^{2} - b^{2} = 6^{2}

${(8)}^{2} - b^{2} = 6^{2}$

Schritt 4.2

Potenziere

8

$8$ mit

2

$2$ .

64 - b^{2} = 6^{2}

$64 - b^{2} = 6^{2}$

Schritt 4.3

Potenziere

6

$6$ mit

2

$2$ .

64 - b^{2} = 36

$64 - b^{2} = 36$

Schritt 4.4

Bringe alle Terme, die nicht

b

$b$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.4.1

Subtrahiere

64

$64$ von beiden Seiten der Gleichung.

- b^{2} = 36 - 64

$- b^{2} = 36 - 64$

Schritt 4.4.2

Subtrahiere

64

$64$ von

36

$36$ .

- b^{2} = - 28

$- b^{2} = - 28$

- b^{2} = - 28

$- b^{2} = - 28$

Schritt 4.5

Teile jeden Ausdruck in

- b^{2} = - 28

$- b^{2} = - 28$ durch

- 1

$- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Teile jeden Ausdruck in

- b^{2} = - 28

$- b^{2} = - 28$ durch

- 1

$- 1$ .

\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 28}{- 1}

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 28}{- 1}$

Schritt 4.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 28}{- 1}

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 28}{- 1}$

Schritt 4.5.2.2

Dividiere

b^{2}

$b^{2}$ durch

1

$1$ .

b^{2} = \frac{- 28}{- 1}

$b^{2} = \frac{- 28}{- 1}$

b^{2} = \frac{- 28}{- 1}

$b^{2} = \frac{- 28}{- 1}$

Schritt 4.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.3.1

Dividiere

- 28

$- 28$ durch

- 1

$- 1$ .

b^{2} = 28

$b^{2} = 28$

b^{2} = 28

$b^{2} = 28$

b^{2} = 28

$b^{2} = 28$

Schritt 4.6

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

b = \pm \sqrt{28}

$b = \pm \sqrt{28}$

Schritt 4.7

Vereinfache

\pm \sqrt{28}

$\pm \sqrt{28}$ .

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Schritt 4.7.1

Schreibe

28

$28$ als

2^{2} \cdot 7

$2^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 4.7.1.1

Faktorisiere

4

$4$ aus

28

$28$ heraus.

b = \pm \sqrt{4 (7)}

$b = \pm \sqrt{4 (7)}$

Schritt 4.7.1.2

Schreibe

4

$4$ als

2^{2}

$2^{2}$ um.

b = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}

$b = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}$

b = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}

$b = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}$

Schritt 4.7.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

b = \pm 2 \sqrt{7}

$b = \pm 2 \sqrt{7}$

b = \pm 2 \sqrt{7}

$b = \pm 2 \sqrt{7}$

Schritt 4.8

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.8.1

Verwende zunächst den positiven Wert des

\pm

$\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

b = 2 \sqrt{7}

$b = 2 \sqrt{7}$

Schritt 4.8.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von

\pm

$\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

b = - 2 \sqrt{7}

$b = - 2 \sqrt{7}$

Schritt 4.8.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

b = 2 \sqrt{7}, - 2 \sqrt{7}

$b = 2 \sqrt{7}, - 2 \sqrt{7}$

b = 2 \sqrt{7}, - 2 \sqrt{7}

$b = 2 \sqrt{7}, - 2 \sqrt{7}$

b = 2 \sqrt{7}, - 2 \sqrt{7}

$b = 2 \sqrt{7}, - 2 \sqrt{7}$

Schritt 5

b

$b$ ist ein Abstand, d. h., es sollte eine positive Zahl sein.

b = 2 \sqrt{7}

$b = 2 \sqrt{7}$

Schritt 6

Die Steigung der Geraden zwischen dem Brennpunkt

(5, 2)

$(5, 2)$ und dem Mittelpunkt

(- 1, 2)

$(- 1, 2)$ bestimmt, ob die Ellipse vertikal oder horizontal ist. Wenn die Steigung gleich

0

$0$ ist, ist der Graph horizontal. Ist die Steigung nicht definiert, ist der Graph vertikal.

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Schritt 6.1

Die Steigung ist gleich der Änderung von

y

$y$ dividiert durch die Änderung von

x

$x$ .

$m = \frac{Änderung in y}{Änderung in x}$

Schritt 6.2

Die Änderung von

$x$ ist gleich der Differenz zwischen den x-Koordinaten und die Änderung von

$y$ ist gleich der Differenz zwischen den y-Koordinaten.

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Schritt 6.3

Setze die Werte von

$x$ und

$y$ in die Gleichung ein, um die Steigung zu ermitteln.

$m = \frac{2 - (2)}{- 1 - (5)}$

Schritt 6.4

Vereinfache.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.1.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$2$ .

$m = \frac{2 - 2}{- 1 - (5)}$

Schritt 6.4.1.2

Subtrahiere

$2$ von

$2$ .

$m = \frac{0}{- 1 - (5)}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.4.2.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$5$ .

$m = \frac{0}{- 1 - 5}$

Schritt 6.4.2.2

Subtrahiere

$5$ von

$- 1$ .

$m = \frac{0}{- 6}$

Schritt 6.4.3

Dividiere

$0$ durch

$- 6$ .

$m = 0$

Schritt 6.5

Die allgemeine Gleichung für eine horizontale Ellipse ist

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 7

Setze die Werte

$h = - 1$ ,

$k = 2$ ,

$a = 8$ und

$b = 2 \sqrt{7}$ in

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ ein, um die Ellipsengleichung

$\frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(8)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$ zu erhalten.

$\frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(8)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

Schritt 8

Vereinfache, um die endgültige Gleichung der Ellipse zu bestimmen.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{8^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

Schritt 8.2

Potenziere

$8$ mit

$2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

Schritt 8.3

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

Schritt 8.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.4.1

Wende die Produktregel auf

$2 \sqrt{7}$ an.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{2^{2} {\sqrt{7}}^{2}} = 1$

Schritt 8.4.2

Potenziere

$2$ mit

$2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 {\sqrt{7}}^{2}} = 1$

Schritt 8.4.3

Schreibe

${\sqrt{7}}^{2}$ als

$7$ um.

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Schritt 8.4.3.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{7}$ als

$7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Schritt 8.4.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Schritt 8.4.3.3

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Schritt 8.4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 8.4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Schritt 8.4.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 \cdot 7} = 1$

Schritt 8.4.3.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 \cdot 7} = 1$

Schritt 8.5

Mutltipliziere

$4$ mit

$7$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{28} = 1$

Schritt 9

Gib DEINE Aufgabe ein