Beispiele

$(1, 2, - 3)$ , $(3, 5, - 3)$ , $(1, - 1, 1)$ , $(- 2, - 2, - 2)$

Schritt 1

Gegeben seien die Punkte $C = (1, - 1, 1)$ und $D = (- 2, - 2, - 2)$ . Finde eine Ebene, die die Punkte $A = (1, 2, - 3)$ und $B = (3, 5, - 3)$ enthält und die parallel zur Geraden $CD$ ist.

$A = (1, 2, - 3)$

$B = (3, 5, - 3)$

$C = (1, - 1, 1)$

$D = (- 2, - 2, - 2)$

Schritt 2

Berechne zunächst den Richtungsvektor der Geraden durch die Punkte $C$ und $D$ . Dies kann erreicht werden, indem die Koordinatenwerte von Punkt $C$ von Punkt $D$ subtrahiert werden.

$V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >$

Schritt 3

Ersetze die $x$ -, $y$ - und $z$ -Werte und vereinfache dann, um den Richtungsvektor $V_{CD}$ für die Gerade $CD$ zu ermitteln.

$V_{CD} = ⟨ - 3, - 1, - 3 ⟩$

Schritt 4

Berechne den Richtungsvektor einer Geraden durch die Punkte $A$ und $B$ mithilfe derselben Methode.

$V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >$

Schritt 5

Ersetze die $x$ -, $y$ - und $z$ -Werte und vereinfache dann, um den Richtungsvektor $V_{AB}$ für die Gerade $AB$ zu ermitteln.

$V_{AB} = ⟨ 2, 3, 0 ⟩$

Schritt 6

Die Lösungsebene enthält eine Gerade, die durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft, mit dem Richtungsvektor $V_{A B}$ . Um festzustellen, ob diese Ebene parallel zur Geraden $C D$ verläuft, ermittle den Normalenvektor der Ebene, welcher auch orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden $C D$ ist. Berechne den Normalenvektor durch Ermitteln des Kreuzproduktes $V_{A B}$ x $V_{C D}$ durch Ermitteln der Determinante der Matrix $[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ 2 & 3 & 0 \\ - 3 & - 1 & - 3 \end{array}]$

Schritt 7

Berechne die Determinante.

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Schritt 7.1

Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten $0$ Elementen. Wenn keine $0$ Elemente vorhanden sind, wähle irgendeine Zeile oder Spalte. Multipliziere jedes Element in Spalte $1$ mit seinem Kofaktor und füge hinzu.

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Schritt 7.1.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 7.1.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer $-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 7.1.3

Die Unterdeterminante für $a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $1$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Schritt 7.1.4

Multipliziere Element $a_{11}$ mit seinen Kofaktoren.

$i | \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Schritt 7.1.5

Die Unterdeterminante für $a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 7.1.6

Multipliziere Element $a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

$- | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j$

Schritt 7.1.7

Die Unterdeterminante für $a_{13}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $3$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} |$

Schritt 7.1.8

Multipliziere Element $a_{13}$ mit seinen Kofaktoren.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Schritt 7.1.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

$i | \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} | - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Schritt 7.2

Berechne $| \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$ .

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Schritt 7.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$i (3 \cdot - 3 - - 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 7.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$i (- 9 - - 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Schritt 7.2.2.1.2

Multipliziere $- - 0$ .

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Schritt 7.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$i (- 9 - 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Schritt 7.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$i (- 9 + 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $- 9$ und $0$ .

$i \cdot - 9 - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Schritt 7.3

Berechne $| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} |$ .

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Schritt 7.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$i \cdot - 9 - (2 \cdot - 3 - (- 3 \cdot 0)) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Schritt 7.3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 7.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$i \cdot - 9 - (- 6 - (- 3 \cdot 0)) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Schritt 7.3.2.1.2

Multipliziere $- (- 3 \cdot 0)$ .

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Schritt 7.3.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$i \cdot - 9 - (- 6 - 0) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Schritt 7.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$i \cdot - 9 - (- 6 + 0) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Schritt 7.3.2.2

Addiere $- 6$ und $0$ .

$i \cdot - 9 - - 6 j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Schritt 7.4

Berechne $| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} |$ .

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Schritt 7.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$i \cdot - 9 - - 6 j + (2 \cdot - 1 - (- 3 \cdot 3)) k$

Schritt 7.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 7.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.4.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 - (- 3 \cdot 3)) k$

Schritt 7.4.2.1.2

Multipliziere $- (- 3 \cdot 3)$ .

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Schritt 7.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 - - 9) k$

Schritt 7.4.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 + 9) k$

Schritt 7.4.2.2

Addiere $- 2$ und $9$ .

$i \cdot - 9 - - 6 j + 7 k$

Schritt 7.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.5.1

Bringe $- 9$ auf die linke Seite von $i$ .

$- 9 \cdot i - - 6 j + 7 k$

Schritt 7.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$- 9 i + 6 j + 7 k$

Schritt 8

Löse den Ausdruck $(- 9) x + (6) y + (7) z$ am Punkt $A$ , da er in der Ebene ist. Dies wird angewendet, um die Konstante in der Gleichung für die Ebene zu berechnen.

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Schritt 8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$- 9 + (6) \cdot 2 + (7) \cdot - 3$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$- 9 + 12 + (7) \cdot - 3$

Schritt 8.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $- 3$ .

$- 9 + 12 - 21$

Schritt 8.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 8.2.1

Addiere $- 9$ und $12$ .

$3 - 21$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $21$ von $3$ .

$- 18$

Schritt 9

Addiere die Konstante, sodass sich die Gleichung der Ebene zu $(- 9) x + (6) y + (7) z = - 18$ ergibt.

$(- 9) x + (6) y + (7) z = - 18$

Schritt 10

Mutltipliziere $7$ mit $z$ .

$- 9 x + 6 y + 7 z = - 18$

Gib DEINE Aufgabe ein