Trigonometrie Beispiele

$(\cos^{2} (x) - 1) (\tan^{2} (x) - 1)$

Schritt 1

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.1

Stelle $\cos^{2} (x)$ und $- 1$ um.

$(- 1 + \cos^{2} (x)) (\tan^{2} (x) - 1)$

Schritt 1.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$(- 1 (1) + \cos^{2} (x)) (\tan^{2} (x) - 1)$

Schritt 1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$(- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))) (\tan^{2} (x) - 1)$

Schritt 1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ heraus.

$- 1 (1 - \cos^{2} (x)) (\tan^{2} (x) - 1)$

Schritt 1.5

Schreibe $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ als $- (1 - \cos^{2} (x))$ um.

$- (1 - \cos^{2} (x)) (\tan^{2} (x) - 1)$

Schritt 2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$- \sin^{2} (x) (\tan^{2} (x) - 1)$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- \sin^{2} (x) ({(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - 1)$

Schritt 3.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$- \sin^{2} (x) (\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 1)$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \sin^{2} (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x) \cdot - 1$

Schritt 4

Multipliziere $- \sin^{2} (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ und $\sin^{2} (x)$ .

$- \frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x) \cdot - 1$

Schritt 4.2

Multipliziere $\sin^{2} (x)$ mit $\sin^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{{\sin (x)}^{2 + 2}}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x) \cdot - 1$

Schritt 4.2.2

Addiere $2$ und $2$ .

$- \frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x) \cdot - 1$

Schritt 5

Multipliziere $- \sin^{2} (x) \cdot - 1$ .

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1 \sin^{2} (x)$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\sin^{2} (x)$ mit $1$ .

$- \frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin^{2} (x)$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1

Schreibe $\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}$ als ${(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})}^{2}$ um.

$- {(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})}^{2} + \sin^{2} (x)$

Schritt 6.2

Stelle $- {(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})}^{2}$ und $\sin^{2} (x)$ um.

$\sin^{2} (x) - {(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \sin (x)$ und $b = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ .

$(\sin (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Schritt 8

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$(\sin (x) + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Schritt 8.1.2

Separiere Brüche.

$(\sin (x) + \frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Schritt 8.1.3

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$(\sin (x) + \frac{\sin (x)}{1} \tan (x)) (\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Schritt 8.1.4

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$(\sin (x) + \sin (x) \tan (x)) (\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Schritt 8.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$(\sin (x) + \sin (x) \tan (x)) (\sin (x) - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 8.2.2

Separiere Brüche.

$(\sin (x) + \sin (x) \tan (x)) (\sin (x) - (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

Schritt 8.2.3

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$(\sin (x) + \sin (x) \tan (x)) (\sin (x) - (\frac{\sin (x)}{1} \tan (x)))$

Schritt 8.2.4

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$(\sin (x) + \sin (x) \tan (x)) (\sin (x) - \sin (x) \tan (x))$

Schritt 9

Multipliziere $(\sin (x) + \sin (x) \tan (x)) (\sin (x) - \sin (x) \tan (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) (\sin (x) - \sin (x) \tan (x)) + \sin (x) \tan (x) (\sin (x) - \sin (x) \tan (x))$

Schritt 9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x) \tan (x)) + \sin (x) \tan (x) (\sin (x) - \sin (x) \tan (x))$

Schritt 9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x) \tan (x)) + \sin (x) \tan (x) \sin (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Schritt 10

Vereinfache Terme.

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Schritt 10.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x) \tan (x)) + \sin (x) \tan (x) \sin (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$ .

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Schritt 10.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\sin (x) (- \sin (x) \tan (x))$ und $\sin (x) \tan (x) \sin (x)$ neu an.

$\sin (x) \sin (x) - \sin (x) \sin (x) \tan (x) + \sin (x) \sin (x) \tan (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Schritt 10.1.2

Addiere $- \sin (x) \sin (x) \tan (x)$ und $\sin (x) \sin (x) \tan (x)$ .

$\sin (x) \sin (x) + 0 + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Schritt 10.1.3

Addiere $\sin (x) \sin (x)$ und $0$ .

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Schritt 10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.1

Multipliziere $\sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 10.2.1.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Schritt 10.2.1.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Schritt 10.2.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Schritt 10.2.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Schritt 10.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\sin^{2} (x) - \sin (x) \tan (x) \sin (x) \tan (x)$

Schritt 10.2.3

Multipliziere $- \sin (x) \tan (x) \sin (x)$ .

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Schritt 10.2.3.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\sin^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) \tan (x) \tan (x)$

Schritt 10.2.3.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\sin^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \tan (x) \tan (x)$

Schritt 10.2.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} \tan (x) \tan (x)$

Schritt 10.2.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) \tan (x) \tan (x)$

Schritt 10.2.4

Multipliziere $- \sin^{2} (x) \tan (x) \tan (x)$ .

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Schritt 10.2.4.1

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan (x))$

Schritt 10.2.4.2

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x))$

Schritt 10.2.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) {\tan (x)}^{1 + 1}$

Schritt 10.2.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) \tan^{2} (x)$

Gib DEINE Aufgabe ein