Trigonometrie Beispiele

(- 2, 9)

$(- 2, 9)$

Schritt 1

Um den

\cos (θ)

$\cos (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten

(0, 0)

$(0, 0)$ und

(- 2, 9)

$(- 2, 9)$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten

(0, 0)

$(0, 0)$ ,

(- 2, 0)

$(- 2, 0)$ und

(- 2, 9)

$(- 2, 9)$ .

Gegenüberliegend :

9

$9$

Ankathete :

- 2

$- 2$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras

c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Potenziere

- 2

$- 2$ mit

2

$2$ .

\sqrt{4 + {(9)}^{2}}

$\sqrt{4 + {(9)}^{2}}$

Schritt 2.2

Potenziere

9

$9$ mit

2

$2$ .

\sqrt{4 + 81}

$\sqrt{4 + 81}$

Schritt 2.3

Addiere

4

$4$ und

81

$81$ .

\sqrt{85}

$\sqrt{85}$

\sqrt{85}

$\sqrt{85}$

Schritt 3

Aus

\cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}

$\cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ folgt

\cos (θ) = \frac{- 2}{\sqrt{85}}

$\cos (θ) = \frac{- 2}{\sqrt{85}}$ .

\frac{- 2}{\sqrt{85}}

$\frac{- 2}{\sqrt{85}}$

Schritt 4

Vereinfache

\cos (θ)

$\cos (θ)$ .

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Schritt 4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

\cos (θ) = - \frac{2}{\sqrt{85}}

$\cos (θ) = - \frac{2}{\sqrt{85}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere

\frac{2}{\sqrt{85}}

$\frac{2}{\sqrt{85}}$ mit

\frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}

$\frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$ .

\cos (θ) = - (\frac{2}{\sqrt{85}} \cdot \frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}})

$\cos (θ) = - (\frac{2}{\sqrt{85}} \cdot \frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}})$

Schritt 4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere

\frac{2}{\sqrt{85}}

$\frac{2}{\sqrt{85}}$ mit

\frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}

$\frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$ .

\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

Schritt 4.3.2

Potenziere

\sqrt{85}

$\sqrt{85}$ mit

1

$1$ .

\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

Schritt 4.3.3

Potenziere

\sqrt{85}

$\sqrt{85}$ mit

1

$1$ .

\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

Schritt 4.3.4

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{85}}{{\sqrt{85}}^{1 + 1}}

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{85}}{{\sqrt{85}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.3.5

Addiere

1

$1$ und

1

$1$ .

\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{85}}{{\sqrt{85}}^{2}}

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{85}}{{\sqrt{85}}^{2}}$

Schritt 4.3.6

Schreibe

{\sqrt{85}}^{2}

${\sqrt{85}}^{2}$ als

85

$85$ um.

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Schritt 4.3.6.1

Benutze

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

\sqrt{85}

$\sqrt{85}$ als

85^{\frac{1}{2}}

$85^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{85}}{{(85^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{85}}{{(85^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{85}}{85^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{85}}{85^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.3.6.3

Kombiniere

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ und

2

$2$ .

\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{85}}{85^{\frac{2}{2}}}

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{85}}{85^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 4.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{85}}{85^{\frac{2}{2}}}

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{85}}{85^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{85}}{85}