Trigonometrie Beispiele

${(z - 3)}^{3} = 2 i$

Schritt 1

Ersetze $z - 3$ durch $u$ .

$u^{3} = 2 i$

Schritt 2

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 3

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 4

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = 0$ und $b = 2$ .

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

Schritt 5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = 2$

Schritt 6

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{2}{0})$

Schritt 7

Da das Argument nicht definiert ist und $b$ positiv ist, ist der Winkel des Punktes in der komplexen Ebene $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Schritt 8

Substituiere die Werte von $θ = \frac{π}{2}$ und $| z | = 2$ .

$2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Schritt 9

Ersetze die rechte Seite der Gleichung durch die trigonometrische Form.

$u^{3} = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Schritt 10

Ermittle eine Gleichung für $u$ mithilfe des Satzes von De Moivre.

$r^{3} (c o s (3 θ) + i s i n (3 θ)) = 2 i = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Schritt 11

Setze den Betrag der trigonometrischen Form gleich $r^{3}$ , um den Wert von $r$ zu finden.

$r^{3} = 2$

Schritt 12

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \sqrt[3]{2}$

Schritt 13

Finde den Näherungswert von $r$ .

$r = 1.25992104$

Schritt 14

Ermittle die möglichen Werte von $θ$ .

$c o s (3 θ) = c o s (\frac{π}{2} + 2 π n)$ und $s i n (3 θ) = s i n (\frac{π}{2} + 2 π n)$

Schritt 15

Alle möglichen Werte von $θ$ zu ermitteln führt zur Gleichung $3 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$

Schritt 16

Ermittele den Wert von $θ$ für $r = 0$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (0)$

Schritt 17

Löse die Gleichung nach $θ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1.1

Multipliziere $2 π (0)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 0 π$

Schritt 17.1.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 0$

Schritt 17.1.2

Addiere $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$3 θ = \frac{π}{2}$

Schritt 17.2

Teile jeden Ausdruck in $3 θ = \frac{π}{2}$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 θ = \frac{π}{2}$ durch $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Schritt 17.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Schritt 17.2.2.1.2

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Schritt 17.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 17.2.3.2

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$θ = \frac{π}{2 \cdot 3}$

Schritt 17.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Schritt 18

Benutze die Werte von $θ$ und $r$ , um eine Lösung für die Gleichung $u^{3} = 2 i$ zu ermitteln.

$u_{0} = 1.25992104 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Schritt 19

Wandle die Lösung in die rechtwinklige Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{π}{6}))$

Schritt 19.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i (\frac{1}{2}))$

Schritt 19.1.3

Kombiniere $i$ und $\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

Schritt 19.2

Wende das Distributivgesetz an.

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Schritt 19.3

Multipliziere $1.25992104 \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.3.1

Kombiniere $1.25992104$ und $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{0} = \frac{1.25992104 \sqrt{3}}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Schritt 19.3.2

Mutltipliziere $1.25992104$ mit $\sqrt{3}$ .

$u_{0} = \frac{2.18224727}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Schritt 19.4

Kombiniere $1.25992104$ und $\frac{i}{2}$ .

$u_{0} = \frac{2.18224727}{2} + \frac{1.25992104 i}{2}$

Schritt 19.5

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.5.1

Dividiere $2.18224727$ durch $2$ .

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104 i}{2}$

Schritt 19.5.2

Faktorisiere $1.25992104$ aus $1.25992104 i$ heraus.

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2}$

Schritt 19.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2 (1)}$

Schritt 19.5.4

Separiere Brüche.

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104}{2} \cdot \frac{i}{1}$

Schritt 19.5.5

Dividiere $1.25992104$ durch $2$ .

$u_{0} = 1.09112363 + 0.62996052 (\frac{i}{1})$

Schritt 19.5.6

Dividiere $i$ durch $1$ .

$u_{0} = 1.09112363 + 0.62996052 i$

Schritt 20

Setze $z - 3$ für $u$ ein, um den Wert von $z$ nach der Verschiebung nach rechts zu berechnen.

$z_{0} = 3 + 1.09112363 + 0.62996052 i$

Schritt 21

Ermittele den Wert von $θ$ für $r = 1$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (1)$

Schritt 22

Löse die Gleichung nach $θ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π$

Schritt 22.1.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 22.1.3

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

Schritt 22.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 θ = \frac{π + 2 π \cdot 2}{2}$

Schritt 22.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$3 θ = \frac{π + 4 π}{2}$

Schritt 22.1.6

Addiere $π$ und $4 π$ .

$3 θ = \frac{5 π}{2}$

Schritt 22.2

Teile jeden Ausdruck in $3 θ = \frac{5 π}{2}$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 θ = \frac{5 π}{2}$ durch $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

Schritt 22.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

Schritt 22.2.2.1.2

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

Schritt 22.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$θ = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 22.2.3.2

Multipliziere $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{2}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$θ = \frac{5 π}{2 \cdot 3}$

Schritt 22.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Schritt 23

Benutze die Werte von $θ$ und $r$ , um eine Lösung für die Gleichung $u^{3} = 2 i$ zu ermitteln.

$u_{1} = 1.25992104 (\cos (\frac{5 π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

Schritt 24

Wandle die Lösung in die rechtwinklige Form um.

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Schritt 24.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 24.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$u_{1} = 1.25992104 (- \cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

Schritt 24.1.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

Schritt 24.1.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{π}{6}))$

Schritt 24.1.4

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i (\frac{1}{2}))$

Schritt 24.1.5

Kombiniere $i$ und $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

Schritt 24.2

Wende das Distributivgesetz an.

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Schritt 24.3

Multipliziere $1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 24.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1.25992104$ .

$u_{1} = - 1.25992104 \frac{\sqrt{3}}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Schritt 24.3.2

Kombiniere $- 1.25992104$ und $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = \frac{- 1.25992104 \sqrt{3}}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Schritt 24.3.3

Mutltipliziere $- 1.25992104$ mit $\sqrt{3}$ .

$u_{1} = \frac{- 2.18224727}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Schritt 24.4

Kombiniere $1.25992104$ und $\frac{i}{2}$ .

$u_{1} = \frac{- 2.18224727}{2} + \frac{1.25992104 i}{2}$

Schritt 24.5

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 24.5.1

Dividiere $- 2.18224727$ durch $2$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104 i}{2}$

Schritt 24.5.2

Faktorisiere $1.25992104$ aus $1.25992104 i$ heraus.

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2}$

Schritt 24.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2 (1)}$

Schritt 24.5.4

Separiere Brüche.

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104}{2} \cdot \frac{i}{1}$

Schritt 24.5.5

Dividiere $1.25992104$ durch $2$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + 0.62996052 (\frac{i}{1})$

Schritt 24.5.6

Dividiere $i$ durch $1$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + 0.62996052 i$

Schritt 25

Setze $z - 3$ für $u$ ein, um den Wert von $z$ nach der Verschiebung nach rechts zu berechnen.

$z_{1} = 3 - 1.09112363 + 0.62996052 i$

Schritt 26

Ermittele den Wert von $θ$ für $r = 2$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (2)$

Schritt 27

Löse die Gleichung nach $θ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 27.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 27.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 4 π$

Schritt 27.1.2

Um $4 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 4 π \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 27.1.3

Kombiniere $4 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + \frac{4 π \cdot 2}{2}$

Schritt 27.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 θ = \frac{π + 4 π \cdot 2}{2}$

Schritt 27.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$3 θ = \frac{π + 8 π}{2}$

Schritt 27.1.6

Addiere $π$ und $8 π$ .

$3 θ = \frac{9 π}{2}$

Schritt 27.2

Teile jeden Ausdruck in $3 θ = \frac{9 π}{2}$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 27.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 θ = \frac{9 π}{2}$ durch $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{9 π}{2}}{3}$

Schritt 27.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 27.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 27.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{9 π}{2}}{3}$

Schritt 27.2.2.1.2

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{\frac{9 π}{2}}{3}$

Schritt 27.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 27.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$θ = \frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 27.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 27.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9 π$ heraus.

$θ = \frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 27.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 27.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$θ = \frac{3 π}{2}$

Schritt 28

Benutze die Werte von $θ$ und $r$ , um eine Lösung für die Gleichung $u^{3} = 2 i$ zu ermitteln.

$u_{2} = 1.25992104 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Schritt 29

Wandle die Lösung in die rechtwinklige Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 29.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 29.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$u_{2} = 1.25992104 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Schritt 29.1.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Schritt 29.1.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i (- \sin (\frac{π}{2})))$

Schritt 29.1.4

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i (- 1 \cdot 1))$

Schritt 29.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i \cdot - 1)$

Schritt 29.1.6

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $i$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 - 1 \cdot i)$

Schritt 29.1.7

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$u_{2} = 1.25992104 (0 - i)$

Schritt 29.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 29.2.1

Subtrahiere $i$ von $0$ .

$u_{2} = 1.25992104 (- i)$

Schritt 29.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1.25992104$ .

$u_{2} = - 1.25992104 i$

Schritt 30

Setze $z - 3$ für $u$ ein, um den Wert von $z$ nach der Verschiebung nach rechts zu berechnen.

$z_{2} = 3 - 1.25992104 i$

Schritt 31

Dies sind die komplexen Lösungen für $u^{3} = 2 i$ .

$z_{0} = 4.09112363 + 0.62996052 i$

$z_{1} = 1.90887636 + 0.62996052 i$

$z_{2} = 3 - 1.25992104 i$

Gib DEINE Aufgabe ein