Trigonometrie Beispiele

$32 + 32 i \sqrt{3}$ , $n = 3$

Schritt 1

Berechne den Abstand von $(a, b)$ zum Ursprung mit Hilfe der Formel $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{32^{2} + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}$

Schritt 2

Vereinfache $\sqrt{32^{2} + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.1

Potenziere $32$ mit $2$ .

$r = \sqrt{1024 + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Bringe $32$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$r = \sqrt{1024 + {(32 \cdot \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 2.1.3

Wende die Produktregel auf $32 \sqrt{3}$ an.

$r = \sqrt{1024 + 32^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 2.1.4

Potenziere $32$ mit $2$ .

$r = \sqrt{1024 + 1024 {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 2.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$r = \sqrt{1024 + 1024 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{1}}$

Schritt 2.2.5

Berechne den Exponenten.

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3}$

Schritt 2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $1024$ mit $3$ .

$r = \sqrt{1024 + 3072}$

Schritt 2.3.2

Addiere $1024$ und $3072$ .

$r = \sqrt{4096}$

Schritt 2.3.3

Schreibe $4096$ als $64^{2}$ um.

$r = \sqrt{64^{2}}$

Schritt 2.3.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$r = 64$

Schritt 3

Berechne den Referenzwinkel $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3} \cdot 32}{32} |)$

Schritt 4

Vereinfache $\arctan (| \frac{\sqrt{3} \cdot 32}{32} |)$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $32$ .

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3} \cdot 32}{32} |)$

Schritt 4.1.2

Dividiere $\sqrt{3}$ durch $1$ .

$θ̂ = \arctan (| \sqrt{3} |)$

Schritt 4.2

$\sqrt{3}$ ist ungefähr $1.7320508$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$θ̂ = \arctan (\sqrt{3})$

Schritt 4.3

Der genau Wert von $\arctan (\sqrt{3})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$θ̂ = \frac{π}{3}$

Schritt 5

Ermittle den Quadranten.

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Schritt 5.1

Bringe $32$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$(32, 32 \sqrt{3})$

Schritt 5.2

Der Punkt liegt im ersten Quadranten, da $x$ und $y$ beide positiv sind. Die Quadranten sind gegen den Uhrzeigersinn gekennzeichnet, beginnend oben rechts.

Quadrant $1$

Schritt 6

$(a, b)$ ist im ersten Quadranten. $θ = θ̂$

$θ = \frac{π}{3}$

Schritt 7

Verwende die Formel um die Wurzeln der komplexen Zahl zu ermitteln.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Schritt 8

Setze $r$ , $n$ und $θ$ in die Formel ein.

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Schritt 8.1

Kombiniere ${(64)}^{\frac{1}{3}}$ und $\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π k}{3}$ .

$c i s \frac{{(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)}{3}$

Schritt 8.2

Kombiniere $c$ und $\frac{{(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)}{3}$ .

$i s \frac{c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))}{3}$

Schritt 8.3

Kombiniere $i$ und $\frac{c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))}{3}$ .

$s \frac{i (c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)))}{3}$

Schritt 8.4

Kombiniere $s$ und $\frac{i (c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)))}{3}$ .

$\frac{s (i (c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))))}{3}$

Schritt 8.5

Entferne die Klammern.

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Schritt 8.5.1

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i (c (64^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))))}{3}$

Schritt 8.5.2

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i (c (64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k))))}{3}$

Schritt 8.5.3

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i (c \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k)))}{3}$

Schritt 8.5.4

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i (c \cdot 64^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{3} + 2 π k))}{3}$

Schritt 8.5.5

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i c \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k))}{3}$

Schritt 8.5.6

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i c \cdot 64^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{3} + 2 π k)}{3}$

Schritt 8.5.7

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i c) \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k)}{3}$

Schritt 8.5.8

Entferne die Klammern.

$\frac{s i c \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k)}{3}$

Schritt 9

Ersetze $k = 0$ in der Formel und vereinfache sie.

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Schritt 9.1

Schreibe $64$ als $4^{3}$ um.

$k = 0 : {(4^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Schritt 9.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 0 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$k = 0 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Schritt 9.3.2

Forme den Ausdruck um.

$k = 0 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Schritt 9.4

Berechne den Exponenten.

$k = 0 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Schritt 9.5

Multipliziere $2 π (0)$ .

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Schritt 9.5.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 0 π}{3})$

Schritt 9.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 0}{3})$

Schritt 9.6

Addiere $\frac{π}{3}$ und $0$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3}}{3})$

Schritt 9.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 9.8

Multipliziere $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 9.8.1

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{3 \cdot 3})$

Schritt 9.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{9})$

Schritt 10

Ersetze $k = 1$ in der Formel und vereinfache sie.

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Schritt 10.1

Schreibe $64$ als $4^{3}$ um.

$k = 1 : {(4^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Schritt 10.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 1 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Schritt 10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$k = 1 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Schritt 10.3.2

Forme den Ausdruck um.

$k = 1 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Schritt 10.4

Berechne den Exponenten.

$k = 1 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Schritt 10.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 2 π}{3})$

Schritt 10.6

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 2 π \cdot \frac{3}{3}}{3})$

Schritt 10.7

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + \frac{2 π \cdot 3}{3}}{3})$

Schritt 10.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 2 π \cdot 3}{3}}{3})$

Schritt 10.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.9.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 6 π}{3}}{3})$

Schritt 10.9.2

Addiere $π$ und $6 π$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{7 π}{3}}{3})$

Schritt 10.10

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 10.11

Multipliziere $\frac{7 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 10.11.1

Mutltipliziere $\frac{7 π}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{3 \cdot 3})$

Schritt 10.11.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{9})$

Schritt 11

Ersetze $k = 2$ in der Formel und vereinfache sie.

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Schritt 11.1

Schreibe $64$ als $4^{3}$ um.

$k = 2 : {(4^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Schritt 11.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 2 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Schritt 11.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 11.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$k = 2 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Schritt 11.3.2

Forme den Ausdruck um.

$k = 2 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Schritt 11.4

Berechne den Exponenten.

$k = 2 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Schritt 11.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 4 π}{3})$

Schritt 11.6

Um $4 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 4 π \cdot \frac{3}{3}}{3})$

Schritt 11.7

Kombiniere $4 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + \frac{4 π \cdot 3}{3}}{3})$

Schritt 11.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 4 π \cdot 3}{3}}{3})$

Schritt 11.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.9.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 12 π}{3}}{3})$

Schritt 11.9.2

Addiere $π$ und $12 π$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{13 π}{3}}{3})$

Schritt 11.10

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 11.11

Multipliziere $\frac{13 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 11.11.1

Mutltipliziere $\frac{13 π}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{3 \cdot 3})$

Schritt 11.11.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{9})$

Schritt 12

Liste die Lösungen auf.

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{9})$

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{9})$

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{9})$

Gib DEINE Aufgabe ein