Trigonometrie Beispiele

32 + 32 i \sqrt{3}

$32 + 32 i \sqrt{3}$ ,

n = 3

$n = 3$

Schritt 1

Berechne den Abstand von

(a, b)

$(a, b)$ zum Ursprung mit Hilfe der Formel

r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

r = \sqrt{32^{2} + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}

$r = \sqrt{32^{2} + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}$

Schritt 2

Vereinfache

\sqrt{32^{2} + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}

$\sqrt{32^{2} + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.1

Potenziere

32

$32$ mit

2

$2$ .

r = \sqrt{1024 + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}

$r = \sqrt{1024 + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Bringe

32

$32$ auf die linke Seite von

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ .

r = \sqrt{1024 + {(32 \cdot \sqrt{3})}^{2}}

$r = \sqrt{1024 + {(32 \cdot \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 2.1.3

Wende die Produktregel auf

32 \sqrt{3}

$32 \sqrt{3}$ an.

r = \sqrt{1024 + 32^{2} {\sqrt{3}}^{2}}

$r = \sqrt{1024 + 32^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 2.1.4

Potenziere

32

$32$ mit

2

$2$ .

r = \sqrt{1024 + 1024 {\sqrt{3}}^{2}}

$r = \sqrt{1024 + 1024 {\sqrt{3}}^{2}}$

r = \sqrt{1024 + 1024 {\sqrt{3}}^{2}}

$r = \sqrt{1024 + 1024 {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 2.2

Schreibe

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ als

3

$3$ um.

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Schritt 2.2.1

Benutze

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ als

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

r = \sqrt{1024 + 1024 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$r = \sqrt{1024 + 1024 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.2.3

Kombiniere

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ und

2

$2$ .

r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{1}}$

Schritt 2.2.5

Berechne den Exponenten.

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3}$

Schritt 2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere

$1024$ mit

$3$ .

$r = \sqrt{1024 + 3072}$

Schritt 2.3.2

Addiere

$1024$ und

$3072$ .

$r = \sqrt{4096}$

Schritt 2.3.3

Schreibe

$4096$ als

$64^{2}$ um.

$r = \sqrt{64^{2}}$

Schritt 2.3.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$r = 64$

Schritt 3

Berechne den Referenzwinkel

$θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3} \cdot 32}{32} |)$

Schritt 4

Vereinfache

$\arctan (| \frac{\sqrt{3} \cdot 32}{32} |)$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$32$ .

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3} \cdot 32}{32} |)$

Schritt 4.1.2

Dividiere

$\sqrt{3}$ durch

$1$ .

$θ̂ = \arctan (| \sqrt{3} |)$

Schritt 4.2

$\sqrt{3}$ ist ungefähr

$1.7320508$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$θ̂ = \arctan (\sqrt{3})$

Schritt 4.3

Der genau Wert von

$\arctan (\sqrt{3})$ ist

$\frac{π}{3}$ .

$θ̂ = \frac{π}{3}$

Schritt 5

Ermittle den Quadranten.

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Schritt 5.1

Bringe

$32$ auf die linke Seite von

$\sqrt{3}$ .

$(32, 32 \sqrt{3})$

Schritt 5.2

Der Punkt liegt im ersten Quadranten, da

$x$ und

$y$ beide positiv sind. Die Quadranten sind gegen den Uhrzeigersinn gekennzeichnet, beginnend oben rechts.

Quadrant

$1$

Quadrant

$1$

Schritt 6

$(a, b)$ ist im ersten Quadranten.

$θ = θ̂$

$θ = \frac{π}{3}$

Schritt 7

Verwende die Formel um die Wurzeln der komplexen Zahl zu ermitteln.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ ,

$k = 0, 1, \dots, n - 1$

Schritt 8

Setze

$r$ ,

$n$ und

$θ$ in die Formel ein.

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Schritt 8.1

Kombiniere

${(64)}^{\frac{1}{3}}$ und

$\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π k}{3}$ .

$c i s \frac{{(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)}{3}$

Schritt 8.2

Kombiniere

$c$ und

$\frac{{(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)}{3}$ .

$i s \frac{c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))}{3}$

Schritt 8.3

Kombiniere

$i$ und

$\frac{c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))}{3}$ .

$s \frac{i (c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)))}{3}$

Schritt 8.4

Kombiniere

$s$ und

$\frac{i (c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)))}{3}$ .

$\frac{s (i (c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))))}{3}$

Schritt 8.5

Entferne die Klammern.

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Schritt 8.5.1

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i (c (64^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))))}{3}$

Schritt 8.5.2

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i (c (64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k))))}{3}$

Schritt 8.5.3

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i (c \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k)))}{3}$

Schritt 8.5.4

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i (c \cdot 64^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{3} + 2 π k))}{3}$

Schritt 8.5.5

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i c \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k))}{3}$

Schritt 8.5.6

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i c \cdot 64^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{3} + 2 π k)}{3}$

Schritt 8.5.7

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i c) \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k)}{3}$

Schritt 8.5.8

Entferne die Klammern.

$\frac{s i c \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k)}{3}$

Schritt 9

Ersetze

$k = 0$ in der Formel und vereinfache sie.

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Schritt 9.1

Schreibe

$64$ als

$4^{3}$ um.

$k = 0 : {(4^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Schritt 9.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 0 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$3$ .

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Schritt 9.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$k = 0 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Schritt 9.3.2

Forme den Ausdruck um.

$k = 0 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Schritt 9.4

Berechne den Exponenten.

$k = 0 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Schritt 9.5

Multipliziere

$2 π (0)$ .

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Schritt 9.5.1

Mutltipliziere

$0$ mit

$2$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 0 π}{3})$

Schritt 9.5.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$π$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 0}{3})$

Schritt 9.6

Addiere

$\frac{π}{3}$ und

$0$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3}}{3})$

Schritt 9.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 9.8

Multipliziere

$\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 9.8.1

Mutltipliziere

$\frac{π}{3}$ mit

$\frac{1}{3}$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{3 \cdot 3})$

Schritt 9.8.2

Mutltipliziere

$3$ mit

$3$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{9})$

Schritt 10

Ersetze

$k = 1$ in der Formel und vereinfache sie.

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Schritt 10.1

Schreibe

$64$ als

$4^{3}$ um.

$k = 1 : {(4^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Schritt 10.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 1 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Schritt 10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$3$ .

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Schritt 10.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$k = 1 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Schritt 10.3.2

Forme den Ausdruck um.

$k = 1 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Schritt 10.4

Berechne den Exponenten.

$k = 1 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Schritt 10.5

Mutltipliziere

$2$ mit

$1$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 2 π}{3})$

Schritt 10.6

$2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

$\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 2 π \cdot \frac{3}{3}}{3})$

Schritt 10.7

Kombiniere

$2 π$ und

$\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + \frac{2 π \cdot 3}{3}}{3})$

Schritt 10.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 2 π \cdot 3}{3}}{3})$

Schritt 10.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.9.1

Mutltipliziere

$3$ mit

$2$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 6 π}{3}}{3})$

Schritt 10.9.2

Addiere

$π$ und

$6 π$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{7 π}{3}}{3})$

Schritt 10.10

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 10.11

Multipliziere

$\frac{7 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 10.11.1

Mutltipliziere

$\frac{7 π}{3}$ mit

$\frac{1}{3}$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{3 \cdot 3})$

Schritt 10.11.2

Mutltipliziere

$3$ mit

$3$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{9})$

Schritt 11

Ersetze

$k = 2$ in der Formel und vereinfache sie.

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Schritt 11.1

Schreibe

$64$ als

$4^{3}$ um.

$k = 2 : {(4^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Schritt 11.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 2 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Schritt 11.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$3$ .

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Schritt 11.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$k = 2 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Schritt 11.3.2

Forme den Ausdruck um.

$k = 2 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Schritt 11.4

Berechne den Exponenten.

$k = 2 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Schritt 11.5

Mutltipliziere

$2$ mit

$2$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 4 π}{3})$

Schritt 11.6

$4 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

$\frac{3}{3}$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 4 π \cdot \frac{3}{3}}{3})$

Schritt 11.7

Kombiniere

$4 π$ und

$\frac{3}{3}$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + \frac{4 π \cdot 3}{3}}{3})$

Schritt 11.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 4 π \cdot 3}{3}}{3})$

Schritt 11.9

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.9.1

Mutltipliziere

$3$ mit

$4$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 12 π}{3}}{3})$

Schritt 11.9.2

Addiere

$π$ und

$12 π$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{13 π}{3}}{3})$

Schritt 11.10

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 11.11

Multipliziere

$\frac{13 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.11.1

Mutltipliziere

$\frac{13 π}{3}$ mit

$\frac{1}{3}$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{3 \cdot 3})$

Schritt 11.11.2

Mutltipliziere

$3$ mit

$3$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{9})$

Schritt 12

Liste die Lösungen auf.

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{9})$

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{9})$

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{9})$

Gib DEINE Aufgabe ein