Trigonometrie Beispiele

$16 \sqrt{3} + 16 i$ , $n = 4$

Schritt 1

Berechne den Abstand von $(a, b)$ zum Ursprung mit Hilfe der Formel $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{{(16 \sqrt{3})}^{2} + 16^{2}}$

Schritt 2

Vereinfache $\sqrt{{(16 \sqrt{3})}^{2} + 16^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.1

Wende die Produktregel auf $16 \sqrt{3}$ an.

$r = \sqrt{16^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 16^{2}}$

Schritt 2.1.2

Potenziere $16$ mit $2$ .

$r = \sqrt{256 {\sqrt{3}}^{2} + 16^{2}}$

Schritt 2.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$r = \sqrt{256 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 16^{2}}$

Schritt 2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{256 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 16^{2}}$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$r = \sqrt{256 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 16^{2}}$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \sqrt{256 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 16^{2}}$

Schritt 2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \sqrt{256 \cdot 3^{1} + 16^{2}}$

Schritt 2.2.5

Berechne den Exponenten.

$r = \sqrt{256 \cdot 3 + 16^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $256$ mit $3$ .

$r = \sqrt{768 + 16^{2}}$

Schritt 2.3.2

Potenziere $16$ mit $2$ .

$r = \sqrt{768 + 256}$

Schritt 2.3.3

Addiere $768$ und $256$ .

$r = \sqrt{1024}$

Schritt 2.3.4

Schreibe $1024$ als $32^{2}$ um.

$r = \sqrt{32^{2}}$

Schritt 2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$r = 32$

Schritt 3

Berechne den Referenzwinkel $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{16}{16 \sqrt{3}} |)$

Schritt 4

Vereinfache $\arctan (| \frac{16}{16 \sqrt{3}} |)$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ̂ = \arctan (| \frac{16}{16 \sqrt{3}} |)$

Schritt 4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$θ̂ = \arctan (| \frac{1}{\sqrt{3}} |)$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} |)$

Schritt 4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} |)$

Schritt 4.3.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} |)$

Schritt 4.3.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} |)$

Schritt 4.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} |)$

Schritt 4.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} |)$

Schritt 4.3.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} |)$

Schritt 4.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |)$

Schritt 4.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} |)$

Schritt 4.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} |)$

Schritt 4.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{3^{1}} |)$

Schritt 4.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{3} |)$

Schritt 4.4

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ ist ungefähr $0.57735026$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$θ̂ = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Schritt 4.5

Der genau Wert von $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$θ̂ = \frac{π}{6}$

Schritt 5

Der Punkt liegt im ersten Quadranten, da $x$ und $y$ beide positiv sind. Die Quadranten sind gegen den Uhrzeigersinn gekennzeichnet, beginnend oben rechts.

Quadrant $1$

Schritt 6

$(a, b)$ ist im ersten Quadranten. $θ = θ̂$

$θ = \frac{π}{6}$

Schritt 7

Verwende die Formel um die Wurzeln der komplexen Zahl zu ermitteln.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Schritt 8

Setze $r$ , $n$ und $θ$ in die Formel ein.

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Schritt 8.1

Kombiniere ${(32)}^{\frac{1}{4}}$ und $\frac{(\frac{π}{6}) + 2 π k}{4}$ .

$c i s \frac{{(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k)}{4}$

Schritt 8.2

Kombiniere $c$ und $\frac{{(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k)}{4}$ .

$i s \frac{c ({(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k))}{4}$

Schritt 8.3

Kombiniere $i$ und $\frac{c ({(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k))}{4}$ .

$s \frac{i (c ({(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k)))}{4}$

Schritt 8.4

Kombiniere $s$ und $\frac{i (c ({(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k)))}{4}$ .

$\frac{s (i (c ({(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k))))}{4}$

Schritt 8.5

Entferne die Klammern.

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Schritt 8.5.1

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i (c (32^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k))))}{4}$

Schritt 8.5.2

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i (c (32^{\frac{1}{4}} (\frac{π}{6} + 2 π k))))}{4}$

Schritt 8.5.3

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i (c \cdot 32^{\frac{1}{4}} (\frac{π}{6} + 2 π k)))}{4}$

Schritt 8.5.4

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i (c \cdot 32^{\frac{1}{4}}) (\frac{π}{6} + 2 π k))}{4}$

Schritt 8.5.5

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i c \cdot 32^{\frac{1}{4}} (\frac{π}{6} + 2 π k))}{4}$

Schritt 8.5.6

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i c \cdot 32^{\frac{1}{4}}) (\frac{π}{6} + 2 π k)}{4}$

Schritt 8.5.7

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i c) \cdot 32^{\frac{1}{4}} (\frac{π}{6} + 2 π k)}{4}$

Schritt 8.5.8

Entferne die Klammern.

$\frac{s i c \cdot 32^{\frac{1}{4}} (\frac{π}{6} + 2 π k)}{4}$

Schritt 9

Ersetze $k = 0$ in der Formel und vereinfache sie.

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Schritt 9.1

Entferne die Klammern.

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(\frac{π}{6}) + 2 π (0)}{4})$

Schritt 9.2

Multipliziere $2 π (0)$ .

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 0 π}{4})$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 0}{4})$

Schritt 9.3

Addiere $\frac{π}{6}$ und $0$ .

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6}}{4})$

Schritt 9.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4})$

Schritt 9.5

Multipliziere $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 9.5.1

Mutltipliziere $\frac{π}{6}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{π}{6 \cdot 4})$

Schritt 9.5.2

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{π}{24})$

Schritt 10

Ersetze $k = 1$ in der Formel und vereinfache sie.

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Schritt 10.1

Entferne die Klammern.

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(\frac{π}{6}) + 2 π (1)}{4})$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 2 π}{4})$

Schritt 10.3

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 2 π \cdot \frac{6}{6}}{4})$

Schritt 10.4

Kombiniere $2 π$ und $\frac{6}{6}$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 6}{6}}{4})$

Schritt 10.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 2 π \cdot 6}{6}}{4})$

Schritt 10.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.6.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 12 π}{6}}{4})$

Schritt 10.6.2

Addiere $π$ und $12 π$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{13 π}{6}}{4})$

Schritt 10.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{13 π}{6} \cdot \frac{1}{4})$

Schritt 10.8

Multipliziere $\frac{13 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 10.8.1

Mutltipliziere $\frac{13 π}{6}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{13 π}{6 \cdot 4})$

Schritt 10.8.2

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{13 π}{24})$

Schritt 11

Ersetze $k = 2$ in der Formel und vereinfache sie.

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Schritt 11.1

Entferne die Klammern.

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(\frac{π}{6}) + 2 π (2)}{4})$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 4 π}{4})$

Schritt 11.3

Um $4 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 4 π \cdot \frac{6}{6}}{4})$

Schritt 11.4

Kombiniere $4 π$ und $\frac{6}{6}$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + \frac{4 π \cdot 6}{6}}{4})$

Schritt 11.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 4 π \cdot 6}{6}}{4})$

Schritt 11.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.6.1

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 24 π}{6}}{4})$

Schritt 11.6.2

Addiere $π$ und $24 π$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{25 π}{6}}{4})$

Schritt 11.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{25 π}{6} \cdot \frac{1}{4})$

Schritt 11.8

Multipliziere $\frac{25 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 11.8.1

Mutltipliziere $\frac{25 π}{6}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{25 π}{6 \cdot 4})$

Schritt 11.8.2

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{25 π}{24})$

Schritt 12

Ersetze $k = 3$ in der Formel und vereinfache sie.

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Schritt 12.1

Entferne die Klammern.

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(\frac{π}{6}) + 2 π (3)}{4})$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 6 π}{4})$

Schritt 12.3

Um $6 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 6 π \cdot \frac{6}{6}}{4})$

Schritt 12.4

Kombiniere $6 π$ und $\frac{6}{6}$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + \frac{6 π \cdot 6}{6}}{4})$

Schritt 12.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 6 π \cdot 6}{6}}{4})$

Schritt 12.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.6.1

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 36 π}{6}}{4})$

Schritt 12.6.2

Addiere $π$ und $36 π$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{37 π}{6}}{4})$

Schritt 12.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{37 π}{6} \cdot \frac{1}{4})$

Schritt 12.8

Multipliziere $\frac{37 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 12.8.1

Mutltipliziere $\frac{37 π}{6}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{37 π}{6 \cdot 4})$

Schritt 12.8.2

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{37 π}{24})$

Schritt 13

Liste die Lösungen auf.

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{π}{24})$

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{13 π}{24})$

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{25 π}{24})$

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{37 π}{24})$

Gib DEINE Aufgabe ein