Beispiele

$4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y + 52 = 3$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die keine Variable enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Subtrahiere $52$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = 3 - 52$

Schritt 1.2

Subtrahiere $52$ von $3$ .

$4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = - 49$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung auf $4 x^{2} + 8 x$ an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 4$

$b = 8$

$c = 0$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{4}{4}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{4}{4}$

Schritt 2.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = 1$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Schritt 2.4.2.1.3

Dividiere $64$ durch $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Schritt 2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 0 - 4$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$e = - 4$

Schritt 2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $4 {(x + 1)}^{2} - 4$ ein.

$4 {(x + 1)}^{2} - 4$

Schritt 3

Setze $4 {(x + 1)}^{2} - 4$ für $4 x^{2} + 8 x$ ein in der Gleichung $4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = - 49$ .

$4 {(x + 1)}^{2} - 4 + 9 y^{2} + 54 y = - 49$

Schritt 4

Bringe $- 4$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $4$ auf beiden Seiten.

$4 {(x + 1)}^{2} + 9 y^{2} + 54 y = - 49 + 4$

Schritt 5

Wende die quadratische Ergänzung auf $9 y^{2} + 54 y$ an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 9$

$b = 54$

$c = 0$

Schritt 5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{54}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $54$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $54$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 9$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 (9)}$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{27}{9}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$d = \frac{9 \cdot 3}{9}$

Schritt 5.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 (1)}$

Schritt 5.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{3}{1}$

Schritt 5.3.2.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$d = 3$

Schritt 5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{54^{2}}{4 \cdot 9}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1.1

Potenziere $54$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Schritt 5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Schritt 5.4.2.1.3

Dividiere $2916$ durch $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Schritt 5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $81$ .

$e = 0 - 81$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere $81$ von $0$ .

$e = - 81$

Schritt 5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ ein.

$9 {(y + 3)}^{2} - 81$

Schritt 6

Setze $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ für $9 y^{2} + 54 y$ ein in der Gleichung $4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = - 49$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} - 81 = - 49 + 4$

Schritt 7

Bringe $- 81$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $81$ auf beiden Seiten.

$4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = - 49 + 4 + 81$

Schritt 8

Vereinfache $- 49 + 4 + 81$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Addiere $- 49$ und $4$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = - 45 + 81$

Schritt 8.2

Addiere $- 45$ und $81$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = 36$

Schritt 9

Teile jeden Term durch $36$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{4 {(x + 1)}^{2}}{36} + \frac{9 {(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Schritt 10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{9} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{4} = 1$

Gib DEINE Aufgabe ein