Beispiele

$y = \frac{x^{2} + 3 x - 4}{x^{2} - 1}$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{2} + 3 x - 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 4$ und deren Summe $3$ ist.

$- 1, 4$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{x^{2} - 1}$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} - 1$ .

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Schritt 2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{x^{2} - 1^{2}}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 3.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x + 4}{x + 1}$

Schritt 4

Um die Lücken im Graph zu ermittenl, betrachte die Faktoren im Nenner, die gekürzt wurden.

$x - 1$

Schritt 5

Um die Koordinaten der Lücken zu finden, setze jeden Faktor, der gekürzt wurde, gleich $0$ , löse und substituiere zurück in $\frac{x + 4}{x + 1}$ .

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Schritt 5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 5.3

Setze $1$ für $x$ in $\frac{x + 4}{x + 1}$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Setze $1$ für $x$ ein, um die $y$ -Koordinate der Lücke zu bestimmen.

$\frac{1 + 4}{1 + 1}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache.

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Schritt 5.3.2.1

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{5}{1 + 1}$

Schritt 5.3.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{5}{2}$

Schritt 5.4

Die Lücken im Graph sind die Punkte, bei denen jeder der gekürzten Faktoren gleich $0$ ist.

$(1, \frac{5}{2})$

Schritt 6

Gib DEINE Aufgabe ein