Statistik Beispiele

$x < 3$ , $n = 3$ , $p = 0.4$

Schritt 1

Subtrahiere $0.4$ von $1$ .

$0.6$

Schritt 2

Wenn der Wert der Anzahl der Erfolge $x$ als ein Intervall gegeben ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit von $x$ die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen $x$ -Werte zwischen $0$ und $n$ . In diesem Fall $p (x < 3) = P (x = 0) + P (x = 1) + P (x = 2)$ .

$p (x < 3) = P (x = 0) + P (x = 1) + P (x = 2)$

Schritt 3

Ermittle die Wahrscheinlichkeit von $p (0)$ .

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Schritt 3.1

Wende die Formel für die Wahrscheinlichkeit einer Binomialverteilung an, um die Aufgabe zu lösen.

$p (x) = {}_{3}C_{0} \cdot p^{x} \cdot q^{n - x}$

Schritt 3.2

Ermittele den Wert von ${}_{3}C_{0}$ .

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Schritt 3.2.1

Berechne die Anzahl der möglichen ungeordneten Kombinationen für den Fall, dass $r$ Elemente von $n$ vorhandenen Elementen ausgewählt werden.

${}_{3}C_{0} = {}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(r)! (n - r)!}$

Schritt 3.2.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\frac{(3)!}{(0)! (3 - 0)!}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.3.1.1

Multipliziere $(3)!$ nach $3 \cdot 2 \cdot 1$ aus.

$\frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(0)! (3 - 0)!}$

Schritt 3.2.3.1.2

Multipliziere $3 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Schritt 3.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 \cdot 1}{(0)! (3 - 0)!}$

Schritt 3.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{6}{(0)! (3 - 0)!}$

Schritt 3.2.3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.3.2.1

Multipliziere $(0)!$ nach $1$ aus.

$\frac{6}{1 (3 - 0)!}$

Schritt 3.2.3.2.2

Subtrahiere $0$ von $3$ .

$\frac{6}{1 (3)!}$

Schritt 3.2.3.2.3

Multipliziere $(3)!$ nach $3 \cdot 2 \cdot 1$ aus.

$\frac{6}{1 (3 \cdot 2 \cdot 1)}$

Schritt 3.2.3.2.4

Multipliziere $3 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Schritt 3.2.3.2.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6}{1 (6 \cdot 1)}$

Schritt 3.2.3.2.4.2

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{6}{1 \cdot 6}$

Schritt 3.2.3.2.5

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{6}{6}$

Schritt 3.2.3.3

Dividiere $6$ durch $6$ .

$1$

Schritt 3.3

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$1 \cdot {(0.4)}^{0} \cdot {(1 - 0.4)}^{3 - 0}$

Schritt 3.4

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere ${(0.4)}^{0}$ mit $1$ .

${(0.4)}^{0} \cdot {(1 - 0.4)}^{3 - 0}$

Schritt 3.4.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 \cdot {(1 - 0.4)}^{3 - 0}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere ${(1 - 0.4)}^{3 - 0}$ mit $1$ .

${(1 - 0.4)}^{3 - 0}$

Schritt 3.4.4

Subtrahiere $0.4$ von $1$ .

${0.6}^{3 - 0}$

Schritt 3.4.5

Subtrahiere $0$ von $3$ .

${0.6}^{3}$

Schritt 3.4.6

Potenziere $0.6$ mit $3$ .

$0.216$

Schritt 4

Ermittle die Wahrscheinlichkeit von $p (1)$ .

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Schritt 4.1

Wende die Formel für die Wahrscheinlichkeit einer Binomialverteilung an, um die Aufgabe zu lösen.

$p (x) = {}_{3}C_{1} \cdot p^{x} \cdot q^{n - x}$

Schritt 4.2

Ermittele den Wert von ${}_{3}C_{1}$ .

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Schritt 4.2.1

Berechne die Anzahl der möglichen ungeordneten Kombinationen für den Fall, dass $r$ Elemente von $n$ vorhandenen Elementen ausgewählt werden.

${}_{3}C_{1} = {}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(r)! (n - r)!}$

Schritt 4.2.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\frac{(3)!}{(1)! (3 - 1)!}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.2.3.1

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$\frac{(3)!}{(1)! (2)!}$

Schritt 4.2.3.2

Schreibe $(3)!$ als $3 \cdot 2!$ um.

$\frac{3 \cdot 2!}{(1)! (2)!}$

Schritt 4.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2!$ .

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Schritt 4.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 2!}{(1)! (2)!}$

Schritt 4.2.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{(1)!}$

Schritt 4.2.3.4

Multipliziere $(1)!$ nach $1$ aus.

$\frac{3}{1}$

Schritt 4.2.3.5

Dividiere $3$ durch $1$ .

$3$

Schritt 4.3

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$3 \cdot (0.4) \cdot {(1 - 0.4)}^{3 - 1}$

Schritt 4.4

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.4.1

Berechne den Exponenten.

$3 \cdot 0.4 \cdot {(1 - 0.4)}^{3 - 1}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $0.4$ .

$1.2 \cdot {(1 - 0.4)}^{3 - 1}$

Schritt 4.4.3

Subtrahiere $0.4$ von $1$ .

$1.2 \cdot {0.6}^{3 - 1}$

Schritt 4.4.4

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$1.2 \cdot {0.6}^{2}$

Schritt 4.4.5

Potenziere $0.6$ mit $2$ .

$1.2 \cdot 0.36$

Schritt 4.4.6

Mutltipliziere $1.2$ mit $0.36$ .

$0.432$

Schritt 5

Ermittle die Wahrscheinlichkeit von $p (2)$ .

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Schritt 5.1

Wende die Formel für die Wahrscheinlichkeit einer Binomialverteilung an, um die Aufgabe zu lösen.

$p (x) = {}_{3}C_{2} \cdot p^{x} \cdot q^{n - x}$

Schritt 5.2

Ermittele den Wert von ${}_{3}C_{2}$ .

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Schritt 5.2.1

Berechne die Anzahl der möglichen ungeordneten Kombinationen für den Fall, dass $r$ Elemente von $n$ vorhandenen Elementen ausgewählt werden.

${}_{3}C_{2} = {}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(r)! (n - r)!}$

Schritt 5.2.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\frac{(3)!}{(2)! (3 - 2)!}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 5.2.3.1

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{(3)!}{(2)! (1)!}$

Schritt 5.2.3.2

Schreibe $(3)!$ als $3 \cdot 2!$ um.

$\frac{3 \cdot 2!}{(2)! (1)!}$

Schritt 5.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2!$ .

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Schritt 5.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 2!}{(2)! (1)!}$

Schritt 5.2.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{(1)!}$

Schritt 5.2.3.4

Multipliziere $(1)!$ nach $1$ aus.

$\frac{3}{1}$

Schritt 5.2.3.5

Dividiere $3$ durch $1$ .

$3$

Schritt 5.3

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$3 \cdot {(0.4)}^{2} \cdot {(1 - 0.4)}^{3 - 2}$

Schritt 5.4

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.4.1

Potenziere $0.4$ mit $2$ .

$3 \cdot 0.16 \cdot {(1 - 0.4)}^{3 - 2}$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $0.16$ .

$0.48 \cdot {(1 - 0.4)}^{3 - 2}$

Schritt 5.4.3

Subtrahiere $0.4$ von $1$ .

$0.48 \cdot {0.6}^{3 - 2}$

Schritt 5.4.4

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$0.48 \cdot {0.6}^{1}$

Schritt 5.4.5

Berechne den Exponenten.

$0.48 \cdot 0.6$

Schritt 5.4.6

Mutltipliziere $0.48$ mit $0.6$ .

$0.288$

Schritt 6

Die Wahrscheinlichkeit $P (x < 3)$ ist die Summe aller Wahrscheinlichkeiten aller möglichen $x$ -Werte zwischen $0$ und $n$ . $P (x < 3) = P (x = 0) + P (x = 1) + P (x = 2) = 0.216 + 0.432 + 0.288 = 0.936$ .

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Schritt 6.1

Addiere $0.216$ und $0.432$ .

$p (x < 3) = 0.648 + 0.288$

Schritt 6.2

Addiere $0.648$ und $0.288$ .

$p (x < 3) = 0.936$

Gib DEINE Aufgabe ein