Beispiele

Die Ebene durch (1,2,-3) (3,5,-3) parallel zur Geraden durch (1,-1,1) (-2,-2,-2) bestimmen
, , ,
Schritt 1
Gegeben seien die Punkte und . Finde eine Ebene, die die Punkte und enthält und die parallel zur Geraden ist.
Schritt 2
Berechne zunächst den Richtungsvektor der Geraden durch die Punkte und . Dies kann erreicht werden, indem die Koordinatenwerte von Punkt von Punkt subtrahiert werden.
Schritt 3
Ersetze die -, - und -Werte und vereinfache dann, um den Richtungsvektor für die Gerade zu ermitteln.
Schritt 4
Berechne den Richtungsvektor einer Geraden durch die Punkte und mithilfe derselben Methode.
Schritt 5
Ersetze die -, - und -Werte und vereinfache dann, um den Richtungsvektor für die Gerade zu ermitteln.
Schritt 6
Die Lösungsebene enthält eine Gerade, die durch die Punkte und verläuft, mit dem Richtungsvektor . Um festzustellen, ob diese Ebene parallel zur Geraden verläuft, ermittle den Normalenvektor der Ebene, welcher auch orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden ist. Berechne den Normalenvektor durch Ermitteln des Kreuzproduktes x durch Ermitteln der Determinante der Matrix .
Schritt 7
Berechne die Determinante.
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Schritt 7.1
Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten Elementen. Wenn keine Elemente vorhanden sind, wähle irgendeine Zeile oder Spalte. Multipliziere jedes Element in Spalte mit seinem Kofaktor und füge hinzu.
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Schritt 7.1.1
Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.
Schritt 7.1.2
Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.
Schritt 7.1.3
Die Unterdeterminante für ist die Determinante, wenn Zeile und Spalte eliminiert werden.
Schritt 7.1.4
Multipliziere Element mit seinen Kofaktoren.
Schritt 7.1.5
Die Unterdeterminante für ist die Determinante, wenn Zeile und Spalte eliminiert werden.
Schritt 7.1.6
Multipliziere Element mit seinen Kofaktoren.
Schritt 7.1.7
Die Unterdeterminante für ist die Determinante, wenn Zeile und Spalte eliminiert werden.
Schritt 7.1.8
Multipliziere Element mit seinen Kofaktoren.
Schritt 7.1.9
Addiere die beiden Ausdrücke.
Schritt 7.2
Berechne .
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Schritt 7.2.1
Die Determinante einer -Matrix kann mithilfe der Formel bestimmt werden.
Schritt 7.2.2
Vereinfache die Determinante.
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Schritt 7.2.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 7.2.2.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.2.2.1.2
Multipliziere .
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Schritt 7.2.2.1.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.2.2.1.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.2.2.2
Addiere und .
Schritt 7.3
Berechne .
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Schritt 7.3.1
Die Determinante einer -Matrix kann mithilfe der Formel bestimmt werden.
Schritt 7.3.2
Vereinfache die Determinante.
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Schritt 7.3.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 7.3.2.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.3.2.1.2
Multipliziere .
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Schritt 7.3.2.1.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.3.2.1.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.3.2.2
Addiere und .
Schritt 7.4
Berechne .
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Schritt 7.4.1
Die Determinante einer -Matrix kann mithilfe der Formel bestimmt werden.
Schritt 7.4.2
Vereinfache die Determinante.
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Schritt 7.4.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 7.4.2.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.4.2.1.2
Multipliziere .
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Schritt 7.4.2.1.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.4.2.1.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.4.2.2
Addiere und .
Schritt 7.5
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 7.5.1
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 7.5.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 8
Löse den Ausdruck am Punkt , da er in der Ebene ist. Dies wird angewendet, um die Konstante in der Gleichung für die Ebene zu berechnen.
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Schritt 8.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 8.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.2
Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.
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Schritt 8.2.1
Addiere und .
Schritt 8.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 9
Addiere die Konstante, sodass sich die Gleichung der Ebene zu ergibt.
Schritt 10
Mutltipliziere mit .
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