Elementarmathematik Beispiele

(6, 8)

$(6, 8)$ ,

(2, 4)

$(2, 4)$

Schritt 1

Verwende die Formel für das Skalarprodukt, um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu ermitteln.

θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Schritt 2

Berechne das Skalarprodukt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist die Summe der Produkte ihrer Komponenten.

a⃗ \cdot b⃗ = 6 \cdot 2 + 8 \cdot 4

$a⃗ \cdot b⃗ = 6 \cdot 2 + 8 \cdot 4$

Schritt 2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere

6

$6$ mit

2

$2$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 12 + 8 \cdot 4

$a⃗ \cdot b⃗ = 12 + 8 \cdot 4$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere

8

$8$ mit

4

$4$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 12 + 32

$a⃗ \cdot b⃗ = 12 + 32$

a⃗ \cdot b⃗ = 12 + 32

$a⃗ \cdot b⃗ = 12 + 32$

Schritt 2.2.2

Addiere

12

$12$ und

32

$32$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 44

$a⃗ \cdot b⃗ = 44$

a⃗ \cdot b⃗ = 44

$a⃗ \cdot b⃗ = 44$

a⃗ \cdot b⃗ = 44

$a⃗ \cdot b⃗ = 44$

Schritt 3

Bestimme den Betrag von

a⃗

$a⃗$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Die Norm ist die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate aller Elemente im Vektor.

| a⃗ | = \sqrt{6^{2} + 8^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{6^{2} + 8^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Potenziere

6

$6$ mit

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{36 + 8^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{36 + 8^{2}}$

Schritt 3.2.2

Potenziere

8

$8$ mit

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{36 + 64}

$| a⃗ | = \sqrt{36 + 64}$

Schritt 3.2.3

Addiere

36

$36$ und

64

$64$ .

| a⃗ | = \sqrt{100}

$| a⃗ | = \sqrt{100}$

Schritt 3.2.4

Schreibe

100

$100$ als

10^{2}

$10^{2}$ um.

| a⃗ | = \sqrt{10^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{10^{2}}$

Schritt 3.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

| a⃗ | = 10

$| a⃗ | = 10$

| a⃗ | = 10

$| a⃗ | = 10$

| a⃗ | = 10

$| a⃗ | = 10$

Schritt 4

Bestimme den Betrag von

b⃗

$b⃗$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Die Norm ist die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate aller Elemente im Vektor.

| b⃗ | = \sqrt{2^{2} + 4^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} + 4^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Potenziere

2

$2$ mit

2

$2$ .

| b⃗ | = \sqrt{4 + 4^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 4^{2}}$

Schritt 4.2.2

Potenziere

4

$4$ mit

2

$2$ .

| b⃗ | = \sqrt{4 + 16}

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 16}$

Schritt 4.2.3

Addiere

4

$4$ und

16

$16$ .

| b⃗ | = \sqrt{20}

$| b⃗ | = \sqrt{20}$

Schritt 4.2.4

Schreibe

20

$20$ als

2^{2} \cdot 5

$2^{2} \cdot 5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1

Faktorisiere

4

$4$ aus

20

$20$ heraus.

| b⃗ | = \sqrt{4 (5)}

$| b⃗ | = \sqrt{4 (5)}$

Schritt 4.2.4.2

Schreibe

4

$4$ als

2^{2}

$2^{2}$ um.

| b⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 5}

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 5}$

| b⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 5}

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Schritt 4.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

| b⃗ | = 2 \sqrt{5}

$| b⃗ | = 2 \sqrt{5}$

| b⃗ | = 2 \sqrt{5}

$| b⃗ | = 2 \sqrt{5}$

| b⃗ | = 2 \sqrt{5}

$| b⃗ | = 2 \sqrt{5}$

Schritt 5

Setze die Werte in die Formel ein.

θ = \arccos (\frac{44}{10 (2 \sqrt{5})})

$θ = \arccos (\frac{44}{10 (2 \sqrt{5})})$

Schritt 6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von

44

$44$ und

10

$10$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

44

$44$ heraus.

θ = \arccos (\frac{2 (22)}{10 (2 \sqrt{5})})

$θ = \arccos (\frac{2 (22)}{10 (2 \sqrt{5})})$

Schritt 6.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.2.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

10 (2 \sqrt{5})

$10 (2 \sqrt{5})$ heraus.

θ = \arccos (\frac{2 (22)}{2 (5 (2 \sqrt{5}))})

$θ = \arccos (\frac{2 (22)}{2 (5 (2 \sqrt{5}))})$

Schritt 6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

θ = \arccos (\frac{2 \cdot 22}{2 (5 (2 \sqrt{5}))})

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 22}{2 (5 (2 \sqrt{5}))})$

Schritt 6.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

θ = \arccos (\frac{22}{5 (2 \sqrt{5})})

$θ = \arccos (\frac{22}{5 (2 \sqrt{5})})$

θ = \arccos (\frac{22}{5 (2 \sqrt{5})})

$θ = \arccos (\frac{22}{5 (2 \sqrt{5})})$

θ = \arccos (\frac{22}{5 (2 \sqrt{5})})

$θ = \arccos (\frac{22}{5 (2 \sqrt{5})})$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von

22

$22$ und

2

$2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

22

$22$ heraus.

θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{5 (2 \sqrt{5})})

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{5 (2 \sqrt{5})})$

Schritt 6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

5 (2 \sqrt{5})

$5 (2 \sqrt{5})$ heraus.

θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{2 (5 (\sqrt{5}))})

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{2 (5 (\sqrt{5}))})$

Schritt 6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{2 (5 (\sqrt{5}))})

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{2 (5 (\sqrt{5}))})$

Schritt 6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

θ = \arccos (\frac{11}{5 (\sqrt{5})})

$θ = \arccos (\frac{11}{5 (\sqrt{5})})$

θ = \arccos (\frac{11}{5 (\sqrt{5})})

$θ = \arccos (\frac{11}{5 (\sqrt{5})})$

θ = \arccos (\frac{11}{5 (\sqrt{5})})

$θ = \arccos (\frac{11}{5 (\sqrt{5})})$

Schritt 6.3

Mutltipliziere

\frac{11}{5 \sqrt{5}}

$\frac{11}{5 \sqrt{5}}$ mit

\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

θ = \arccos (\frac{11}{5 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})

$θ = \arccos (\frac{11}{5 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Schritt 6.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1

Mutltipliziere

\frac{11}{5 \sqrt{5}}

$\frac{11}{5 \sqrt{5}}$ mit

\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \sqrt{5} \sqrt{5}})

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \sqrt{5} \sqrt{5}})$

Schritt 6.4.2

Bewege

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$ .

θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 (\sqrt{5} \sqrt{5})})

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 (\sqrt{5} \sqrt{5})})$

Schritt 6.4.3

Potenziere

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$ mit

1

$1$ .

θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})})

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})})$

Schritt 6.4.4

Potenziere

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$ mit

1

$1$ .

θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})})

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})})$

Schritt 6.4.5

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 {\sqrt{5}}^{1 + 1}})

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 {\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Schritt 6.4.6

Addiere

1

$1$ und

1

$1$ .

θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 {\sqrt{5}}^{2}})

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 {\sqrt{5}}^{2}})$

Schritt 6.4.7

Schreibe

{\sqrt{5}}^{2}

${\sqrt{5}}^{2}$ als

5

$5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.7.1

Benutze

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$ als

5^{\frac{1}{2}}

$5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 6.4.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 6.4.7.3

Kombiniere

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ und

2

$2$ .

θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{2}{2}}})

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.4.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{2}{2}}})

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.4.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{1}})

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{1}})$

θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{1}})

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{1}})$

Schritt 6.4.7.5

Berechne den Exponenten.

θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5})

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5})$

θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5})

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5})$

θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5})

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5})$

Schritt 6.5

Mutltipliziere

5

$5$ mit

5

$5$ .

θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{25})

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{25})$

Schritt 6.6

Berechne

\arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{25})

$\arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{25})$ .

θ = 10.30484646

$θ = 10.30484646$

θ = 10.30484646

$θ = 10.30484646$

Gib DEINE Aufgabe ein