Elementarmathematik Beispiele

$(3, 8)$ , $(9, 12)$

Schritt 1

Verwende die Formel für das Skalarprodukt, um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu ermitteln.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Schritt 2

Berechne das Skalarprodukt.

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Schritt 2.1

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist die Summe der Produkte ihrer Komponenten.

$a⃗ \cdot b⃗ = 3 \cdot 9 + 8 \cdot 12$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 27 + 8 \cdot 12$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $12$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 27 + 96$

Schritt 2.2.2

Addiere $27$ und $96$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 123$

Schritt 3

Bestimme den Betrag von $a⃗$ .

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Schritt 3.1

Die Norm ist die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate aller Elemente im Vektor.

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2} + 8^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 8^{2}}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 64}$

Schritt 3.2.3

Addiere $9$ und $64$ .

$| a⃗ | = \sqrt{73}$

Schritt 4

Bestimme den Betrag von $b⃗$ .

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Schritt 4.1

Die Norm ist die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate aller Elemente im Vektor.

$| b⃗ | = \sqrt{9^{2} + 12^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 12^{2}}$

Schritt 4.2.2

Potenziere $12$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 144}$

Schritt 4.2.3

Addiere $81$ und $144$ .

$| b⃗ | = \sqrt{225}$

Schritt 4.2.4

Schreibe $225$ als $15^{2}$ um.

$| b⃗ | = \sqrt{15^{2}}$

Schritt 4.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| b⃗ | = 15$

Schritt 5

Setze die Werte in die Formel ein.

$θ = \arccos (\frac{123}{\sqrt{73} \cdot 15})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $123$ und $15$ .

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $3$ aus $123$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{3 (41)}{\sqrt{73} \cdot 15})$

Schritt 6.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $\sqrt{73} \cdot 15$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{3 (41)}{3 (\sqrt{73} \cdot 5)})$

Schritt 6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 41}{3 (\sqrt{73} \cdot 5)})$

Schritt 6.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{41}{\sqrt{73} \cdot 5})$

Schritt 6.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\sqrt{73}$ .

$θ = \arccos (\frac{41}{5 \sqrt{73}})$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $\frac{41}{5 \sqrt{73}}$ mit $\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}}$ .

$θ = \arccos (\frac{41}{5 \sqrt{73}} \cdot \frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}})$

Schritt 6.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $\frac{41}{5 \sqrt{73}}$ mit $\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}}$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \sqrt{73} \sqrt{73}})$

Schritt 6.4.2

Bewege $\sqrt{73}$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 (\sqrt{73} \sqrt{73})})$

Schritt 6.4.3

Potenziere $\sqrt{73}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 ({\sqrt{73}}^{1} \sqrt{73})})$

Schritt 6.4.4

Potenziere $\sqrt{73}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 ({\sqrt{73}}^{1} {\sqrt{73}}^{1})})$

Schritt 6.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 {\sqrt{73}}^{1 + 1}})$

Schritt 6.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 {\sqrt{73}}^{2}})$

Schritt 6.4.7

Schreibe ${\sqrt{73}}^{2}$ als $73$ um.

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Schritt 6.4.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{73}$ als $73^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 {(73^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 6.4.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 6.4.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.4.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.4.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.4.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{1}})$

Schritt 6.4.7.5

Berechne den Exponenten.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73})$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $5$ mit $73$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{365})$

Schritt 6.6

Berechne $\arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{365})$ .

$θ = 16.31385242$

Gib DEINE Aufgabe ein