Elementarmathematik Beispiele

$(- 7, 7)$ , $(3, 9)$

Schritt 1

Verwende die Formel für das Skalarprodukt, um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu ermitteln.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Schritt 2

Berechne das Skalarprodukt.

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Schritt 2.1

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist die Summe der Produkte ihrer Komponenten.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 7 \cdot 3 + 7 \cdot 9$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 21 + 7 \cdot 9$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $9$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 21 + 63$

Schritt 2.2.2

Addiere $- 21$ und $63$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 42$

Schritt 3

Bestimme den Betrag von $a⃗$ .

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Schritt 3.1

Die Norm ist die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate aller Elemente im Vektor.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 7)}^{2} + 7^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{49 + 7^{2}}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $7$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{49 + 49}$

Schritt 3.2.3

Addiere $49$ und $49$ .

$| a⃗ | = \sqrt{98}$

Schritt 3.2.4

Schreibe $98$ als $7^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.2.4.1

Faktorisiere $49$ aus $98$ heraus.

$| a⃗ | = \sqrt{49 (2)}$

Schritt 3.2.4.2

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$| a⃗ | = \sqrt{7^{2} \cdot 2}$

Schritt 3.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| a⃗ | = 7 \sqrt{2}$

Schritt 4

Bestimme den Betrag von $b⃗$ .

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Schritt 4.1

Die Norm ist die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate aller Elemente im Vektor.

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} + 9^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 9^{2}}$

Schritt 4.2.2

Potenziere $9$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 81}$

Schritt 4.2.3

Addiere $9$ und $81$ .

$| b⃗ | = \sqrt{90}$

Schritt 4.2.4

Schreibe $90$ als $3^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 4.2.4.1

Faktorisiere $9$ aus $90$ heraus.

$| b⃗ | = \sqrt{9 (10)}$

Schritt 4.2.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}$

Schritt 4.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| b⃗ | = 3 \sqrt{10}$

Schritt 5

Setze die Werte in die Formel ein.

$θ = \arccos (\frac{42}{7 \sqrt{2} (3 \sqrt{10})})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $42$ und $7$ .

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $7$ aus $42$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{7 \cdot 6}{7 \sqrt{2} (3 \sqrt{10})})$

Schritt 6.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.2.1

Faktorisiere $7$ aus $7 \sqrt{2} (3 \sqrt{10})$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{7 \cdot 6}{7 (\sqrt{2} (3 \sqrt{10}))})$

Schritt 6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{7 \cdot 6}{7 (\sqrt{2} (3 \sqrt{10}))})$

Schritt 6.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{6}{\sqrt{2} (3 \sqrt{10})})$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 2}{\sqrt{2} (3 \sqrt{10})})$

Schritt 6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $\sqrt{2} (3 \sqrt{10})$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 2}{3 (\sqrt{2} (\sqrt{10}))})$

Schritt 6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 2}{3 (\sqrt{2} (\sqrt{10}))})$

Schritt 6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{2} (\sqrt{10})})$

Schritt 6.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{2 \cdot 10}})$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{20}})$

Schritt 6.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.4.1

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 6.4.1.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{4 (5)}})$

Schritt 6.4.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{2^{2} \cdot 5}})$

Schritt 6.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$θ = \arccos (\frac{2}{2 \sqrt{5}})$

Schritt 6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{2}{2 \sqrt{5}})$

Schritt 6.5.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{5}})$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Schritt 6.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

Schritt 6.7.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Schritt 6.7.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Schritt 6.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Schritt 6.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Schritt 6.7.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 6.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 6.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 6.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{5^{1}})$

Schritt 6.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{5})$

Schritt 6.8

Berechne $\arccos (\frac{\sqrt{5}}{5})$ .

$θ = 63.43494882$

Gib DEINE Aufgabe ein