Elementarmathematik Beispiele

$A = [\begin{array}{c} 17 & 1 & 8 \\ 1 & 2 & 6 \end{array}]$ , $x = [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array}]$

Schritt 1

$C_{1} \cdot [\begin{array}{c} 17 \\ 1 \end{array}] + C_{2} \cdot [\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}] + C_{3} \cdot [\begin{array}{c} 8 \\ 6 \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array}]$

Schritt 2

$C_{1} + 2 C_{2} + 6 C_{3} = 3 17 C_{1} + C_{2} + 8 C_{3} = 1$

Schritt 3

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.#

$[\begin{array}{c} 17 & 1 & 8 & 1 \\ 1 & 2 & 6 & 3 \end{array}]$

Schritt 4

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 4.1

Multipliziere jedes Element von $R_{1}$ mit $\frac{1}{17}$ , um den Eintrag in $1, 1$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere jedes Element von $R_{1}$ mit $\frac{1}{17}$ , um den Eintrag in $1, 1$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} \frac{17}{17} & \frac{1}{17} & \frac{8}{17} & \frac{1}{17} \\ 1 & 2 & 6 & 3 \end{array}]$

Schritt 4.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{17} & \frac{8}{17} & \frac{1}{17} \\ 1 & 2 & 6 & 3 \end{array}]$

Schritt 4.2

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in $2, 1$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 4.2.1

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in $2, 1$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{17} & \frac{8}{17} & \frac{1}{17} \\ 1 - 1 & 2 - \frac{1}{17} & 6 - \frac{8}{17} & 3 - \frac{1}{17} \end{array}]$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{17} & \frac{8}{17} & \frac{1}{17} \\ 0 & \frac{33}{17} & \frac{94}{17} & \frac{50}{17} \end{array}]$

Schritt 4.3

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $\frac{17}{33}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $\frac{17}{33}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{17} & \frac{8}{17} & \frac{1}{17} \\ \frac{17}{33} \cdot 0 & \frac{17}{33} \cdot \frac{33}{17} & \frac{17}{33} \cdot \frac{94}{17} & \frac{17}{33} \cdot \frac{50}{17} \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{17} & \frac{8}{17} & \frac{1}{17} \\ 0 & 1 & \frac{94}{33} & \frac{50}{33} \end{array}]$

Schritt 4.4

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{17} R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 4.4.1

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{17} R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{17} \cdot 0 & \frac{1}{17} - \frac{1}{17} \cdot 1 & \frac{8}{17} - \frac{1}{17} \cdot \frac{94}{33} & \frac{1}{17} - \frac{1}{17} \cdot \frac{50}{33} \\ 0 & 1 & \frac{94}{33} & \frac{50}{33} \end{array}]$

Schritt 4.4.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{10}{33} & - \frac{1}{33} \\ 0 & 1 & \frac{94}{33} & \frac{50}{33} \end{array}]$

Schritt 5

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$C_{1} + \frac{10 C_{3}}{33} = - \frac{1}{33}$

$C_{2} + \frac{94 C_{3}}{33} = \frac{50}{33}$

Schritt 6

Subtrahiere $\frac{10 C_{3}}{33}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C_{1} = - \frac{1}{33} - \frac{10 C_{3}}{33}$

$C_{2} + \frac{94 C_{3}}{33} = \frac{50}{33}$

Schritt 7

Subtrahiere $\frac{94 C_{3}}{33}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C_{2} = \frac{50}{33} - \frac{94 C_{3}}{33}$

$C_{1} = - \frac{1}{33} - \frac{10 C_{3}}{33}$

Schritt 8

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(- \frac{1}{33} - \frac{10 C_{3}}{33}, \frac{50}{33} - \frac{94 C_{3}}{33}, C_{3})$

Schritt 9

Es existiert keine Transformation des Vektors, da es keine eindeutige Lösung des Gleichungssystems gab. Da es keine lineare Transformation gibt, ist der Vektor nicht im Spaltenraum.

Nicht im Spaltenraum

Gib DEINE Aufgabe ein