Elementarmathematik Beispiele

A = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 51 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$A = [\begin{array}{c} - 1 \\ 5 \\ 1 \end{array}]$ ,

x = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 823 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$x = [\begin{array}{c} 8 \\ 2 \\ 3 \end{array}]$

Schritt 1

C_{1} \cdot ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 51 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 823 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$C_{1} \cdot [\begin{array}{c} - 1 \\ 5 \\ 1 \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 2 \\ 3 \end{array}]$

Schritt 2

C_{1} = 3 - C_{1} = 8 5 C_{1} = 2

$C_{1} = 3 - C_{1} = 8 5 C_{1} = 2$

Schritt 3

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.#

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 8 5 & 2 1 & 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 1 & 8 \\ 5 & 2 \\ 1 & 3 \end{array}]$

Schritt 4

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Multipliziere jedes Element von

R_{1}

$R_{1}$ mit

- 1

$- 1$ , um den Eintrag in

1, 1

$1, 1$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Multipliziere jedes Element von

R_{1}

$R_{1}$ mit

- 1

$- 1$ , um den Eintrag in

1, 1

$1, 1$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - - 1 & - 1 \cdot 8 5 & 2 1 & 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 8 \\ 5 & 2 \\ 1 & 3 \end{array}]$

Schritt 4.1.2

Vereinfache

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 8 5 & 2 1 & 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 8 \\ 5 & 2 \\ 1 & 3 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 8 5 & 2 1 & 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 8 \\ 5 & 2 \\ 1 & 3 \end{array}]$

Schritt 4.2

Führe die Zeilenumformung

R_{2} = R_{2} - 5 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 5 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

2, 1

$2, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Führe die Zeilenumformung

R_{2} = R_{2} - 5 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 5 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

2, 1

$2, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 8 5 - 5 \cdot 1 & 2 - 5 \cdot - 8 1 & 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 8 \\ 5 - 5 \cdot 1 & 2 - 5 \cdot - 8 \\ 1 & 3 \end{array}]$

Schritt 4.2.2

Vereinfache

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 8 0 & 42 1 & 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 8 \\ 0 & 42 \\ 1 & 3 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 8 0 & 42 1 & 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 8 \\ 0 & 42 \\ 1 & 3 \end{array}]$

Schritt 4.3

Führe die Zeilenumformung

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in

3, 1

$3, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Führe die Zeilenumformung

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in

3, 1

$3, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 8 0 & 42 1 - 1 & 3 + 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 8 \\ 0 & 42 \\ 1 - 1 & 3 + 8 \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Vereinfache

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 8 0 & 42 0 & 11 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 8 \\ 0 & 42 \\ 0 & 11 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 8 0 & 42 0 & 11 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 8 \\ 0 & 42 \\ 0 & 11 \end{array}]$

Schritt 4.4

Multipliziere jedes Element von

R_{2}

$R_{2}$ mit

\frac{1}{42}

$\frac{1}{42}$ , um den Eintrag in

2, 2

$2, 2$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Multipliziere jedes Element von

R_{2}

$R_{2}$ mit

\frac{1}{42}

$\frac{1}{42}$ , um den Eintrag in

2, 2

$2, 2$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 8 \frac{0}{42} & \frac{42}{42} 0 & 11 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 8 \\ \frac{0}{42} & \frac{42}{42} \\ 0 & 11 \end{array}]$

Schritt 4.4.2

Vereinfache

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 8 0 & 1 0 & 11 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 8 \\ 0 & 1 \\ 0 & 11 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 8 0 & 1 0 & 11 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 8 \\ 0 & 1 \\ 0 & 11 \end{array}]$

Schritt 4.5

Führe die Zeilenumformung

R_{3} = R_{3} - 11 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 11 R_{2}$ aus, um den Eintrag in

3, 2

$3, 2$ mit

0

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1

Führe die Zeilenumformung

R_{3} = R_{3} - 11 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 11 R_{2}$ aus, um den Eintrag in

3, 2

$3, 2$ mit

0

$0$ zu machen.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 8 0 & 1 0 - 11 \cdot 0 & 11 - 11 \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 8 \\ 0 & 1 \\ 0 - 11 \cdot 0 & 11 - 11 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.5.2

Vereinfache

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 8 0 & 1 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 8 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 8 0 & 1 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 8 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.6

Führe die Zeilenumformung

R_{1} = R_{1} + 8 R_{2}

$R_{1} = R_{1} + 8 R_{2}$ aus, um den Eintrag in

1, 2

$1, 2$ mit

0

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1

Führe die Zeilenumformung

R_{1} = R_{1} + 8 R_{2}

$R_{1} = R_{1} + 8 R_{2}$ aus, um den Eintrag in

1, 2

$1, 2$ mit

0

$0$ zu machen.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 + 8 \cdot 0 & - 8 + 8 \cdot 1 0 & 1 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 + 8 \cdot 0 & - 8 + 8 \cdot 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.6.2

Vereinfache

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 5

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$C_{1} = 0$

$0 = 1$

Schritt 6

$0 \neq 1$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 7

Es existiert keine Transformation des Vektors, da es keine eindeutige Lösung des Gleichungssystems gab. Da es keine lineare Transformation gibt, ist der Vektor nicht im Spaltenraum.

Nicht im Spaltenraum

Gib DEINE Aufgabe ein