Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 4 \sec (4 x)$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Für jedes

$y = \sec (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei

$x = \frac{π}{2} + n π$ , wobei

$n$ eine Ganzzahl ist. Benutze die Grundperiode für

$y = s e c (x)$ ,

$(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ , um die vertikalen Asymptoten für

$y = 4 \sec (4 x)$ zu bestimmen. Setze das Innere der Sekans-Funktion,

$b x + c$ , für

$y = a \sec (b x + c) + d$ gleich

$- \frac{π}{2}$ , um herauszufinden, wo die vertikale Asymptote für

$y = 4 \sec (4 x)$ auftritt.

$4 x = - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in

$4 x = - \frac{π}{2}$ durch

$4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in

$4 x = - \frac{π}{2}$ durch

$4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \frac{π}{2}}{4}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$4$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \frac{π}{2}}{4}$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere

$x$ durch

$1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{4}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 1.2.3.2

Multipliziere

$- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 1.2.3.2.1

Mutltipliziere

$\frac{1}{4}$ mit

$\frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.2.3.2.2

Mutltipliziere

$4$ mit

$2$ .

$x = - \frac{π}{8}$

Schritt 1.3

Setze das Innere der Sekansfunktion

$4 x$ gleich

$\frac{3 π}{2}$ .

$4 x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.4

Teile jeden Ausdruck in

$4 x = \frac{3 π}{2}$ durch

$4$ und vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Teile jeden Ausdruck in

$4 x = \frac{3 π}{2}$ durch

$4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

Schritt 1.4.2.1.2

Dividiere

$x$ durch

$1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

Schritt 1.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 1.4.3.2

Multipliziere

$\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 1.4.3.2.1

Mutltipliziere

$\frac{3 π}{2}$ mit

$\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.4.3.2.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$4$ .

$x = \frac{3 π}{8}$

Schritt 1.5

Die fundamentale Periode für

$y = 4 \sec (4 x)$ tritt auf bei

$(- \frac{π}{8}, \frac{3 π}{8})$ , wobei

$- \frac{π}{8}$ und

$\frac{3 π}{8}$ vertikale Asymptoten sind.

$(- \frac{π}{8}, \frac{3 π}{8})$

Schritt 1.6

Ermittle die Periode

$\frac{2 π}{| b |}$ , um herauszufinden, wo die vertikalen Asymptoten existieren. Vertikale Asymptoten treten jede halbe Periode auf.

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Schritt 1.6.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

$0$ und

$4$ ist

$4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Schritt 1.6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von

$2$ und

$4$ .

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Schritt 1.6.2.1

Faktorisiere

$2$ aus

$2 π$ heraus.

$\frac{2 (π)}{4}$

Schritt 1.6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.6.2.2.1

Faktorisiere

$2$ aus

$4$ heraus.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{2}$

Schritt 1.7

Die vertikalen Asymptoten für

$y = 4 \sec (4 x)$ treten auf bei

$- \frac{π}{8}$ ,

$\frac{3 π}{8}$ und jedem

$\frac{π n}{4}$ , wobei

$n$ eine Ganzzahl ist. Das ist die Hälfte der Periode.

$x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{4}$

Schritt 1.8

Der Sekans hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten:

$x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{4}$ , wobei

$n$ eine Ganzzahl ist

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten:

$x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{4}$ , wobei

$n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 2

Wende die Form

$a \sec (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = 4$

$b = 4$

$c = 0$

$d = 0$

Schritt 3

Da der Graph der Funktion

$s e c$ kein Maximum oder Minimum hat, kann es keinen Wert für die Amplitude geben.

Amplitude: Keine

Schritt 4

Ermittele die Periode von

$4 \sec (4 x)$ .

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Schritt 4.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

$\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2

Ersetze

$b$ durch

$4$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Schritt 4.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

$0$ und

$4$ ist

$4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von

$2$ und

$4$ .

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere

$2$ aus

$2 π$ heraus.

$\frac{2 (π)}{4}$

Schritt 4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.2.1

Faktorisiere

$2$ aus

$4$ heraus.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{2}$

Schritt 5

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel

$\frac{c}{b}$ .

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Schritt 5.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von

$\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung:

$\frac{c}{b}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von

$c$ und

$b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung:

$\frac{0}{4}$

Schritt 5.3

Dividiere

$0$ durch

$4$ .

Phasenverschiebung:

$0$

Phasenverschiebung:

$0$

Schritt 6

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: Keine

Periode:

$\frac{π}{2}$

Phasenverschiebung: Keine.

Vertikale Verschiebung: Keine

Schritt 7

Die trigonometrische Funktion kann mithilfe der Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, vertikalen Verschiebung und den Punkten graphisch dargestellt werden.

Vertikale Asymptoten:

$x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{4}$ , wobei

$n$ eine Ganzzahl ist

Amplitude: Keine

Periode:

$\frac{π}{2}$

Phasenverschiebung: Keine.

Vertikale Verschiebung: Keine

Schritt 8

Gib DEINE Aufgabe ein