Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} - y = 2$ , $2 x - y = - 1$

Schritt 1

Löse in $x^{2} - y = 2$ nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = 2 - x^{2}$

$2 x - y = - 1$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $- y = 2 - x^{2}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = 2 - x^{2}$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{2}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

$2 x - y = - 1$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{2}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

$2 x - y = - 1$

Schritt 1.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{2}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

$2 x - y = - 1$

$y = \frac{2}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

$2 x - y = - 1$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Dividiere $2$ durch $- 1$ .

$y = - 2 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

$2 x - y = - 1$

Schritt 1.2.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = - 2 + \frac{x^{2}}{1}$

$2 x - y = - 1$

Schritt 1.2.3.1.3

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$y = - 2 + x^{2}$

$2 x - y = - 1$

$y = - 2 + x^{2}$

$2 x - y = - 1$

$y = - 2 + x^{2}$

$2 x - y = - 1$

$y = - 2 + x^{2}$

$2 x - y = - 1$

$y = - 2 + x^{2}$

$2 x - y = - 1$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 2 + x^{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $y$ in $2 x - y = - 1$ durch $- 2 + x^{2}$ .

$2 x - (- 2 + x^{2}) = - 1$

$y = - 2 + x^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 2 - x^{2} = - 1$

$y = - 2 + x^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$2 x + 2 - x^{2} = - 1$

$y = - 2 + x^{2}$

$2 x + 2 - x^{2} = - 1$

$y = - 2 + x^{2}$

$2 x + 2 - x^{2} = - 1$

$y = - 2 + x^{2}$

$2 x + 2 - x^{2} = - 1$

$y = - 2 + x^{2}$

Schritt 3

Löse in $2 x + 2 - x^{2} = - 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x + 2 - x^{2} + 1 = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

Schritt 3.2

Addiere $2$ und $1$ .

$2 x - x^{2} + 3 = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

Schritt 3.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $2 x - x^{2} + 3$ heraus.

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Schritt 3.3.1.1

Stelle $2 x$ und $- x^{2}$ um.

$- x^{2} + 2 x + 3 = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

Schritt 3.3.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) + 2 x + 3 = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

Schritt 3.3.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $2 x$ heraus.

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 3 = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

Schritt 3.3.1.4

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

Schritt 3.3.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (- 2 x)$ heraus.

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

Schritt 3.3.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 3)$ heraus.

$- (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

$- (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.3.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 3, 1$

$y = - 2 + x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((x - 3) (x + 1)) = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

$- ((x - 3) (x + 1)) = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

Schritt 3.3.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x - 3) (x + 1) = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

$- (x - 3) (x + 1) = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

$- (x - 3) (x + 1) = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

Schritt 3.5

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

Schritt 3.5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

$y = - 2 + x^{2}$

$x = 3$

$y = - 2 + x^{2}$

Schritt 3.6

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

$y = - 2 + x^{2}$

$x = - 1$

$y = - 2 + x^{2}$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x - 3) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 1$

$y = - 2 + x^{2}$

$x = 3, - 1$

$y = - 2 + x^{2}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $x$ in $y = - 2 + x^{2}$ durch $3$ .

$y = - 2 + {(3)}^{2}$

$x = 3$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- 2 + {(3)}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$y = - 2 + 9$

$x = 3$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $- 2$ und $9$ .

$y = 7$

$x = 3$

$y = 7$

$x = 3$

$y = 7$

$x = 3$

$y = 7$

$x = 3$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $x$ in $y = - 2 + x^{2}$ durch $- 1$ .

$y = - 2 + {(- 1)}^{2}$

$x = - 1$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $- 2 + {(- 1)}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = - 2 + 1$

$x = - 1$

Schritt 5.2.1.2

Addiere $- 2$ und $1$ .

$y = - 1$

$x = - 1$

$y = - 1$

$x = - 1$

$y = - 1$

$x = - 1$

$y = - 1$

$x = - 1$

Schritt 6

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(3, 7)$

$(- 1, - 1)$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(3, 7), (- 1, - 1)$

Gleichungsform:

$x = 3, y = 7$

$x = - 1, y = - 1$

Schritt 8

Gib DEINE Aufgabe ein