Elementarmathematik Beispiele

6 x^{2} + 3 y^{2} = 12

$6 x^{2} + 3 y^{2} = 12$ ,

x + y = 2

$x + y = 2$

Schritt 1

Subtrahiere

y

$y$ von beiden Seiten der Gleichung.

x = 2 - y

$x = 2 - y$

6 x^{2} + 3 y^{2} = 12

$6 x^{2} + 3 y^{2} = 12$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von

x

$x$ durch

2 - y

$2 - y$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle

x

$x$ in

6 x^{2} + 3 y^{2} = 12

$6 x^{2} + 3 y^{2} = 12$ durch

2 - y

$2 - y$ .

6 {(2 - y)}^{2} + 3 y^{2} = 12

$6 {(2 - y)}^{2} + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache

6 {(2 - y)}^{2} + 3 y^{2}

$6 {(2 - y)}^{2} + 3 y^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Schreibe

{(2 - y)}^{2}

${(2 - y)}^{2}$ als

(2 - y) (2 - y)

$(2 - y) (2 - y)$ um.

6 ((2 - y) (2 - y)) + 3 y^{2} = 12

$6 ((2 - y) (2 - y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Schritt 2.2.1.1.2

Multipliziere

(2 - y) (2 - y)

$(2 - y) (2 - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

6 (2 (2 - y) - y (2 - y)) + 3 y^{2} = 12

$6 (2 (2 - y) - y (2 - y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y (2 - y)) + 3 y^{2} = 12

$6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y (2 - y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12

$6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12

$6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Schritt 2.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere

2

$2$ mit

2

$2$ .

6 (4 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

2

$2$ .

6 (4 - 2 y - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 2 y - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere

$2$ mit

$- 1$ .

$6 (4 - 2 y - 2 y - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 y \cdot y)) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.5

Multipliziere

$y$ mit

$y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.1.3.1.5.1

Bewege

$y$ .

$6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 (y \cdot y))) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.5.2

Mutltipliziere

$y$ mit

$y$ .

$6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 y^{2})) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 y^{2})) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.6

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$6 (4 - 2 y - 2 y + 1 y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.7

Mutltipliziere

$y^{2}$ mit

$1$ .

$6 (4 - 2 y - 2 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$6 (4 - 2 y - 2 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Subtrahiere

$2 y$ von

$- 2 y$ .

$6 (4 - 4 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$6 (4 - 4 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Schritt 2.2.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$6 \cdot 4 + 6 (- 4 y) + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Schritt 2.2.1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1.5.1

Mutltipliziere

$6$ mit

$4$ .

$24 + 6 (- 4 y) + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Schritt 2.2.1.1.5.2

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$6$ .

$24 - 24 y + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$24 - 24 y + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$24 - 24 y + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Schritt 2.2.1.2

Addiere

$6 y^{2}$ und

$3 y^{2}$ .

$24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Schritt 3

Löse in

$24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$ nach

$y$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere

$12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$24 - 24 y + 9 y^{2} - 12 = 0$

$x = 2 - y$

Schritt 3.2

Subtrahiere

$12$ von

$24$ .

$- 24 y + 9 y^{2} + 12 = 0$

$x = 2 - y$

Schritt 3.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere

$3$ aus

$- 24 y + 9 y^{2} + 12$ heraus.

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere

$3$ aus

$- 24 y$ heraus.

$3 (- 8 y) + 9 y^{2} + 12 = 0$

$x = 2 - y$

Schritt 3.3.1.2

Faktorisiere

$3$ aus

$9 y^{2}$ heraus.

$3 (- 8 y) + 3 (3 y^{2}) + 12 = 0$

$x = 2 - y$

Schritt 3.3.1.3

Faktorisiere

$3$ aus

$12$ heraus.

$3 (- 8 y) + 3 (3 y^{2}) + 3 (4) = 0$

$x = 2 - y$

Schritt 3.3.1.4

Faktorisiere

$3$ aus

$3 (- 8 y) + 3 (3 y^{2})$ heraus.

$3 (- 8 y + 3 y^{2}) + 3 (4) = 0$

$x = 2 - y$

Schritt 3.3.1.5

Faktorisiere

$3$ aus

$3 (- 8 y + 3 y^{2}) + 3 (4)$ heraus.

$3 (- 8 y + 3 y^{2} + 4) = 0$

$x = 2 - y$

$3 (- 8 y + 3 y^{2} + 4) = 0$

$x = 2 - y$

Schritt 3.3.2

Es sei

$u = y$ . Ersetze

$u$ für alle

$y$ .

$3 (- 8 u + 3 u^{2} + 4) = 0$

$x = 2 - y$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.3.3.1

Stelle die Terme um.

$3 (3 u^{2} - 8 u + 4) = 0$

$x = 2 - y$

Schritt 3.3.3.2

Für ein Polynom der Form

$a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich

$a \cdot c = 3 \cdot 4 = 12$ und deren Summe gleich

$b = - 8$ ist.

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Schritt 3.3.3.2.1

Faktorisiere

$- 8$ aus

$- 8 u$ heraus.

$3 (3 u^{2} - 8 u + 4) = 0$

$x = 2 - y$

Schritt 3.3.3.2.2

Schreibe

$- 8$ um als

$- 2$ plus

$- 6$

$3 (3 u^{2} + (- 2 - 6) u + 4) = 0$

$x = 2 - y$

Schritt 3.3.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (3 u^{2} - 2 u - 6 u + 4) = 0$

$x = 2 - y$

$3 (3 u^{2} - 2 u - 6 u + 4) = 0$

$x = 2 - y$

Schritt 3.3.3.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.3.3.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$3 ((3 u^{2} - 2 u) - 6 u + 4) = 0$

$x = 2 - y$

Schritt 3.3.3.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$3 (u (3 u - 2) - 2 (3 u - 2)) = 0$

$x = 2 - y$

$3 (u (3 u - 2) - 2 (3 u - 2)) = 0$

$x = 2 - y$

Schritt 3.3.3.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers,

$3 u - 2$ .

$3 ((3 u - 2) (u - 2)) = 0$

$x = 2 - y$

$3 ((3 u - 2) (u - 2)) = 0$

$x = 2 - y$

Schritt 3.3.4

Faktorisiere.

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Schritt 3.3.4.1

Ersetze alle

$u$ durch

$y$ .

$3 ((3 y - 2) (y - 2)) = 0$

$x = 2 - y$

Schritt 3.3.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 (3 y - 2) (y - 2) = 0$

$x = 2 - y$

$3 (3 y - 2) (y - 2) = 0$

$x = 2 - y$

$3 (3 y - 2) (y - 2) = 0$

$x = 2 - y$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

$0$ .

$3 y - 2 = 0$

$y - 2 = 0$

$x = 2 - y$

Schritt 3.5

Setze

$3 y - 2$ gleich

$0$ und löse nach

$y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze

$3 y - 2$ gleich

$0$ .

$3 y - 2 = 0$

$x = 2 - y$

Schritt 3.5.2

Löse

$3 y - 2 = 0$ nach

$y$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Addiere

$2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = 2$

$x = 2 - y$

Schritt 3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in

$3 y = 2$ durch

$3$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in

$3 y = 2$ durch

$3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

Schritt 3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$3$ .

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Schritt 3.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

Schritt 3.5.2.2.2.1.2

Dividiere

$y$ durch

$1$ .

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

Schritt 3.6

Setze

$y - 2$ gleich

$0$ und löse nach

$y$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze

$y - 2$ gleich

$0$ .

$y - 2 = 0$

$x = 2 - y$

Schritt 3.6.2

Addiere

$2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 2$

$x = 2 - y$

$y = 2$

$x = 2 - y$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

$3 (3 y - 2) (y - 2) = 0$ wahr machen.

$y = \frac{2}{3}, 2$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}, 2$

$x = 2 - y$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von

$y$ durch

$\frac{2}{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle

$y$ in

$x = 2 - y$ durch

$\frac{2}{3}$ .

$x = 2 - (\frac{2}{3})$

$y = \frac{2}{3}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache

$2 - (\frac{2}{3})$ .

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Schritt 4.2.1.1

$2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

$\frac{3}{3}$ .

$x = 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

Schritt 4.2.1.2

Kombiniere

$2$ und

$\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

Schritt 4.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 \cdot 3 - 2}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

Schritt 4.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.4.1

Mutltipliziere

$2$ mit

$3$ .

$x = \frac{6 - 2}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

Schritt 4.2.1.4.2

Subtrahiere

$2$ von

$6$ .

$x = \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

$x = \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

$x = \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

$x = \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

$x = \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von

$y$ durch

$2$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle

$y$ in

$x = 2 - y$ durch

$2$ .

$x = 2 - (2)$

$y = 2$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache

$2 - (2)$ .

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$2$ .

$x = 2 - 2$

$y = 2$

Schritt 5.2.1.2

Subtrahiere

$2$ von

$2$ .

$x = 0$

$y = 2$

$x = 0$

$y = 2$

$x = 0$

$y = 2$

$x = 0$

$y = 2$

Schritt 6

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$

$(0, 2)$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(\frac{4}{3}, \frac{2}{3}), (0, 2)$

Gleichungsform:

$x = \frac{4}{3}, y = \frac{2}{3}$

$x = 0, y = 2$

Schritt 8

Gib DEINE Aufgabe ein