Elementarmathematik Beispiele

x + y - z = 3

$x + y - z = 3$ ,

2 x - 8 y + 13 z = 1

$2 x - 8 y + 13 z = 1$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht

x

$x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere

y

$y$ von beiden Seiten der Gleichung.

x - z = 3 - y

$x - z = 3 - y$

2 x - 8 y + 13 z = 1

$2 x - 8 y + 13 z = 1$

Schritt 1.2

Addiere

z

$z$ zu beiden Seiten der Gleichung.

x = 3 - y + z

$x = 3 - y + z$

2 x - 8 y + 13 z = 1

$2 x - 8 y + 13 z = 1$

x = 3 - y + z

$x = 3 - y + z$

2 x - 8 y + 13 z = 1

$2 x - 8 y + 13 z = 1$

Schritt 2

Löse die Gleichung nach

y

$y$ auf.

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Schritt 2.1

Vereinfache

2 (3 - y + z) - 8 y + 13 z

$2 (3 - y + z) - 8 y + 13 z$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

2 \cdot 3 + 2 (- y) + 2 z - 8 y + 13 z = 1

$2 \cdot 3 + 2 (- y) + 2 z - 8 y + 13 z = 1$

x = 3 - y + z

$x = 3 - y + z$

Schritt 2.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.1.1.2.1

Mutltipliziere

2

$2$ mit

3

$3$ .

6 + 2 (- y) + 2 z - 8 y + 13 z = 1

$6 + 2 (- y) + 2 z - 8 y + 13 z = 1$

x = 3 - y + z

$x = 3 - y + z$

Schritt 2.1.1.2.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

2

$2$ .

6 - 2 y + 2 z - 8 y + 13 z = 1

$6 - 2 y + 2 z - 8 y + 13 z = 1$

x = 3 - y + z

$x = 3 - y + z$

6 - 2 y + 2 z - 8 y + 13 z = 1

$6 - 2 y + 2 z - 8 y + 13 z = 1$

x = 3 - y + z

$x = 3 - y + z$

6 - 2 y + 2 z - 8 y + 13 z = 1

$6 - 2 y + 2 z - 8 y + 13 z = 1$

x = 3 - y + z

$x = 3 - y + z$

Schritt 2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.1.2.1

Subtrahiere

8 y

$8 y$ von

- 2 y

$- 2 y$ .

6 - 10 y + 2 z + 13 z = 1

$6 - 10 y + 2 z + 13 z = 1$

x = 3 - y + z

$x = 3 - y + z$

Schritt 2.1.2.2

Addiere

2 z

$2 z$ und

13 z

$13 z$ .

6 - 10 y + 15 z = 1

$6 - 10 y + 15 z = 1$

x = 3 - y + z

$x = 3 - y + z$

6 - 10 y + 15 z = 1

$6 - 10 y + 15 z = 1$

x = 3 - y + z

$x = 3 - y + z$

6 - 10 y + 15 z = 1

$6 - 10 y + 15 z = 1$

x = 3 - y + z

$x = 3 - y + z$

Schritt 2.2

Bringe alle Terme, die nicht

y

$y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere

6

$6$ von beiden Seiten der Gleichung.

- 10 y + 15 z = 1 - 6

$- 10 y + 15 z = 1 - 6$

x = 3 - y + z

$x = 3 - y + z$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere

15 z

$15 z$ von beiden Seiten der Gleichung.

- 10 y = 1 - 6 - 15 z

$- 10 y = 1 - 6 - 15 z$

x = 3 - y + z

$x = 3 - y + z$

Schritt 2.2.3

Subtrahiere

6

$6$ von

1

$1$ .

- 10 y = - 5 - 15 z

$- 10 y = - 5 - 15 z$

x = 3 - y + z

$x = 3 - y + z$

- 10 y = - 5 - 15 z

$- 10 y = - 5 - 15 z$

x = 3 - y + z

$x = 3 - y + z$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in

- 10 y = - 5 - 15 z

$- 10 y = - 5 - 15 z$ durch

- 10

$- 10$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in

- 10 y = - 5 - 15 z

$- 10 y = - 5 - 15 z$ durch

- 10

$- 10$ .

\frac{- 10 y}{- 10} = \frac{- 5}{- 10} + \frac{- 15 z}{- 10}

$\frac{- 10 y}{- 10} = \frac{- 5}{- 10} + \frac{- 15 z}{- 10}$

x = 3 - y + z

$x = 3 - y + z$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

- 10

$- 10$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{- 10 y}{- 10} = \frac{- 5}{- 10} + \frac{- 15 z}{- 10}

$\frac{- 10 y}{- 10} = \frac{- 5}{- 10} + \frac{- 15 z}{- 10}$

x = 3 - y + z

$x = 3 - y + z$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere

y

$y$ durch

1

$1$ .

y = \frac{- 5}{- 10} + \frac{- 15 z}{- 10}

$y = \frac{- 5}{- 10} + \frac{- 15 z}{- 10}$

x = 3 - y + z

$x = 3 - y + z$

y = \frac{- 5}{- 10} + \frac{- 15 z}{- 10}

$y = \frac{- 5}{- 10} + \frac{- 15 z}{- 10}$

x = 3 - y + z

$x = 3 - y + z$

y = \frac{- 5}{- 10} + \frac{- 15 z}{- 10}

$y = \frac{- 5}{- 10} + \frac{- 15 z}{- 10}$

x = 3 - y + z

$x = 3 - y + z$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von

- 5

$- 5$ und

- 10

$- 10$ .

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Schritt 2.3.3.1.1.1

Faktorisiere

- 5

$- 5$ aus

- 5

$- 5$ heraus.

y = \frac{- 5 \cdot 1}{- 10} + \frac{- 15 z}{- 10}

$y = \frac{- 5 \cdot 1}{- 10} + \frac{- 15 z}{- 10}$

x = 3 - y + z

$x = 3 - y + z$

Schritt 2.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.1.1.2.1

Faktorisiere

- 5

$- 5$ aus

- 10

$- 10$ heraus.

y = \frac{- 5 \cdot 1}{- 5 \cdot 2} + \frac{- 15 z}{- 10}

$y = \frac{- 5 \cdot 1}{- 5 \cdot 2} + \frac{- 15 z}{- 10}$

x = 3 - y + z

$x = 3 - y + z$

Schritt 2.3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

y = \frac{- 5 \cdot 1}{- 5 \cdot 2} + \frac{- 15 z}{- 10}

$y = \frac{- 5 \cdot 1}{- 5 \cdot 2} + \frac{- 15 z}{- 10}$

x = 3 - y + z

$x = 3 - y + z$

Schritt 2.3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

y = \frac{1}{2} + \frac{- 15 z}{- 10}

$y = \frac{1}{2} + \frac{- 15 z}{- 10}$

x = 3 - y + z

$x = 3 - y + z$

y = \frac{1}{2} + \frac{- 15 z}{- 10}

$y = \frac{1}{2} + \frac{- 15 z}{- 10}$

x = 3 - y + z

$x = 3 - y + z$

y = \frac{1}{2} + \frac{- 15 z}{- 10}

$y = \frac{1}{2} + \frac{- 15 z}{- 10}$

x = 3 - y + z

$x = 3 - y + z$

Schritt 2.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von

- 15

$- 15$ und

- 10

$- 10$ .

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Schritt 2.3.3.1.2.1

Faktorisiere

- 5

$- 5$ aus

- 15 z

$- 15 z$ heraus.

y = \frac{1}{2} + \frac{- 5 (3 z)}{- 10}

$y = \frac{1}{2} + \frac{- 5 (3 z)}{- 10}$

x = 3 - y + z

$x = 3 - y + z$

Schritt 2.3.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.1.2.2.1

Faktorisiere

- 5

$- 5$ aus

- 10

$- 10$ heraus.

y = \frac{1}{2} + \frac{- 5 (3 z)}{- 5 \cdot 2}

$y = \frac{1}{2} + \frac{- 5 (3 z)}{- 5 \cdot 2}$

x = 3 - y + z

$x = 3 - y + z$

Schritt 2.3.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

y = \frac{1}{2} + \frac{- 5 (3 z)}{- 5 \cdot 2}

$y = \frac{1}{2} + \frac{- 5 (3 z)}{- 5 \cdot 2}$

x = 3 - y + z

$x = 3 - y + z$

Schritt 2.3.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}

$y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}$

x = 3 - y + z

$x = 3 - y + z$

y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}

$y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}$

x = 3 - y + z

$x = 3 - y + z$

y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}

$y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}$

x = 3 - y + z

$x = 3 - y + z$

y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}

$y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}$

x = 3 - y + z

$x = 3 - y + z$

y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}

$y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}$

x = 3 - y + z

$x = 3 - y + z$

y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}

$y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}$

x = 3 - y + z

$x = 3 - y + z$

y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}

$y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}$

x = 3 - y + z

$x = 3 - y + z$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache

3 - (\frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}) + z

$3 - (\frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}) + z$ .

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Schritt 3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

x = 3 - \frac{1}{2} - \frac{3 z}{2} + z

$x = 3 - \frac{1}{2} - \frac{3 z}{2} + z$

y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}

$y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}$

Schritt 3.1.2

3

$3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} - \frac{3 z}{2} + z

$x = 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} - \frac{3 z}{2} + z$

y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}

$y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}$

Schritt 3.1.3

Kombiniere

3

$3$ und

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = \frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} - \frac{3 z}{2} + z

$x = \frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} - \frac{3 z}{2} + z$

y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}

$y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}$

Schritt 3.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

x = \frac{3 \cdot 2 - 1}{2} - \frac{3 z}{2} + z

$x = \frac{3 \cdot 2 - 1}{2} - \frac{3 z}{2} + z$

y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}

$y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}$

Schritt 3.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.5.1

Mutltipliziere

3

$3$ mit

2

$2$ .

x = \frac{6 - 1}{2} - \frac{3 z}{2} + z

$x = \frac{6 - 1}{2} - \frac{3 z}{2} + z$

y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}

$y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}$

Schritt 3.1.5.2

Subtrahiere

1

$1$ von

6

$6$ .

x = \frac{5}{2} - \frac{3 z}{2} + z

$x = \frac{5}{2} - \frac{3 z}{2} + z$

y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}

$y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}$

x = \frac{5}{2} - \frac{3 z}{2} + z

$x = \frac{5}{2} - \frac{3 z}{2} + z$

y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}

$y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}$

Schritt 3.1.6

z

$z$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = \frac{5}{2} - \frac{3 z}{2} + z \cdot \frac{2}{2}

$x = \frac{5}{2} - \frac{3 z}{2} + z \cdot \frac{2}{2}$

y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}

$y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}$

Schritt 3.1.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1.7.1

Kombiniere

z

$z$ und

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = \frac{5}{2} - \frac{3 z}{2} + \frac{z \cdot 2}{2}

$x = \frac{5}{2} - \frac{3 z}{2} + \frac{z \cdot 2}{2}$

y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}

$y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}$

Schritt 3.1.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

x = \frac{5}{2} + \frac{- 3 z + z \cdot 2}{2}

$x = \frac{5}{2} + \frac{- 3 z + z \cdot 2}{2}$

y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}

$y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}$

Schritt 3.1.7.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

x = \frac{5 - 3 z + z \cdot 2}{2}

$x = \frac{5 - 3 z + z \cdot 2}{2}$

y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}

$y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}$

x = \frac{5 - 3 z + z \cdot 2}{2}

$x = \frac{5 - 3 z + z \cdot 2}{2}$

y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}

$y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}$

Schritt 3.1.8

Bringe

2

$2$ auf die linke Seite von

z

$z$ .

x = \frac{5 - 3 z + 2 z}{2}

$x = \frac{5 - 3 z + 2 z}{2}$

y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}

$y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}$

Schritt 3.1.9

Addiere

- 3 z

$- 3 z$ und

2 z

$2 z$ .

x = \frac{5 - z}{2}

$x = \frac{5 - z}{2}$

y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}

$y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}$

x = \frac{5 - z}{2}

$x = \frac{5 - z}{2}$

y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}

$y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}$

x = \frac{5 - z}{2}

$x = \frac{5 - z}{2}$

y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}

$y = \frac{1}{2} + \frac{3 z}{2}$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Stelle

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ und

\frac{3 z}{2}

$\frac{3 z}{2}$ um.

y = \frac{3 z}{2} + \frac{1}{2}

$y = \frac{3 z}{2} + \frac{1}{2}$

x = \frac{5 - z}{2}

$x = \frac{5 - z}{2}$

y = \frac{3 z}{2} + \frac{1}{2}

$y = \frac{3 z}{2} + \frac{1}{2}$

x = \frac{5 - z}{2}

$x = \frac{5 - z}{2}$

Gib DEINE Aufgabe ein