Elementarmathematik Beispiele

$4 x + y - 2 z = 0$ , $2 x - 3 y + 3 z = 9$ , $- 6 x - 2 y + z = 0$

Schritt 1

Wähle zwei Gleichungen und eliminiere eine Variable. In diesem Fall eliminiere $y$ .

$4 x + y - 2 z = 0$

$2 x - 3 y + 3 z = 9$

Schritt 2

Eliminiere $y$ aus dem System.

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Schritt 2.1

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $y$ umkehrt.

$(3) \cdot (4 x + y - 2 z) = (3) (0)$

$2 x - 3 y + 3 z = 9$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache $(3) \cdot (4 x + y - 2 z)$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (4 x) + 3 y + 3 (- 2 z) = (3) (0)$

$2 x - 3 y + 3 z = 9$

Schritt 2.2.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$12 x + 3 y + 3 (- 2 z) = (3) (0)$

$2 x - 3 y + 3 z = 9$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$12 x + 3 y - 6 z = (3) (0)$

$2 x - 3 y + 3 z = 9$

$12 x + 3 y - 6 z = (3) (0)$

$2 x - 3 y + 3 z = 9$

$12 x + 3 y - 6 z = (3) (0)$

$2 x - 3 y + 3 z = 9$

$12 x + 3 y - 6 z = (3) (0)$

$2 x - 3 y + 3 z = 9$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$12 x + 3 y - 6 z = 0$

$2 x - 3 y + 3 z = 9$

$12 x + 3 y - 6 z = 0$

$2 x - 3 y + 3 z = 9$

$12 x + 3 y - 6 z = 0$

$2 x - 3 y + 3 z = 9$

Schritt 2.3

Addiere die beiden Gleichungen, um $y$ aus dem System zu beseitigen.

	$1$	$2$	$x$	$+$	$3$	$y$	$-$	$6$	$z$	$=$	$0$
$+$		$2$	$x$	$-$	$3$	$y$	$+$	$3$	$z$	$=$	$9$
	$1$	$4$	$x$				$-$	$3$	$z$	$=$	$9$

Schritt 2.4

In der resultierenden Gleichung ist $y$ eliminiert.

$14 x - 3 z = 9$

Schritt 3

Wähle zwei weitere Gleichungen und eliminiere $y$ .

$2 x - 3 y + 3 z = 9$

$- 6 x - 2 y + z = 0$

Schritt 4

Eliminiere $y$ aus dem System.

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Schritt 4.1

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $y$ umkehrt.

$(- 2) \cdot (2 x - 3 y + 3 z) = (- 2) (9)$

$(3) \cdot (- 6 x - 2 y + z) = (3) (0)$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache $(- 2) \cdot (2 x - 3 y + 3 z)$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 (2 x) - 2 (- 3 y) - 2 (3 z) = (- 2) (9)$

$(3) \cdot (- 6 x - 2 y + z) = (3) (0)$

Schritt 4.2.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- 4 x - 2 (- 3 y) - 2 (3 z) = (- 2) (9)$

$(3) \cdot (- 6 x - 2 y + z) = (3) (0)$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$- 4 x + 6 y - 2 (3 z) = (- 2) (9)$

$(3) \cdot (- 6 x - 2 y + z) = (3) (0)$

Schritt 4.2.1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$- 4 x + 6 y - 6 z = (- 2) (9)$

$(3) \cdot (- 6 x - 2 y + z) = (3) (0)$

$- 4 x + 6 y - 6 z = (- 2) (9)$

$(3) \cdot (- 6 x - 2 y + z) = (3) (0)$

$- 4 x + 6 y - 6 z = (- 2) (9)$

$(3) \cdot (- 6 x - 2 y + z) = (3) (0)$

$- 4 x + 6 y - 6 z = (- 2) (9)$

$(3) \cdot (- 6 x - 2 y + z) = (3) (0)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $9$ .

$- 4 x + 6 y - 6 z = - 18$

$(3) \cdot (- 6 x - 2 y + z) = (3) (0)$

$- 4 x + 6 y - 6 z = - 18$

$(3) \cdot (- 6 x - 2 y + z) = (3) (0)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache $(3) \cdot (- 6 x - 2 y + z)$ .

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Schritt 4.2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 x + 6 y - 6 z = - 18$

$3 (- 6 x) + 3 (- 2 y) + 3 z = (3) (0)$

Schritt 4.2.3.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $3$ .

$- 4 x + 6 y - 6 z = - 18$

$- 18 x + 3 (- 2 y) + 3 z = (3) (0)$

Schritt 4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$- 4 x + 6 y - 6 z = - 18$

$- 18 x - 6 y + 3 z = (3) (0)$

$- 4 x + 6 y - 6 z = - 18$

$- 18 x - 6 y + 3 z = (3) (0)$

$- 4 x + 6 y - 6 z = - 18$

$- 18 x - 6 y + 3 z = (3) (0)$

$- 4 x + 6 y - 6 z = - 18$

$- 18 x - 6 y + 3 z = (3) (0)$

Schritt 4.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$- 4 x + 6 y - 6 z = - 18$

$- 18 x - 6 y + 3 z = 0$

$- 4 x + 6 y - 6 z = - 18$

$- 18 x - 6 y + 3 z = 0$

$- 4 x + 6 y - 6 z = - 18$

$- 18 x - 6 y + 3 z = 0$

Schritt 4.3

Addiere die beiden Gleichungen, um $y$ aus dem System zu beseitigen.

		$-$	$4$	$x$	$+$	$6$	$y$	$-$	$6$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$
$+$	$-$	$1$	$8$	$x$	$-$	$6$	$y$	$+$	$3$	$z$	$=$			$0$
	$-$	$2$	$2$	$x$				$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$

Schritt 4.4

In der resultierenden Gleichung ist $y$ eliminiert.

$- 22 x - 3 z = - 18$

Schritt 5

Nimm die resultierenden Gleichungen und eliminiere eine weitere Variable. Eliminiere in diesem Fall $z$ .

$14 x - 3 z = 9$

$- 22 x - 3 z = - 18$

Schritt 6

Eliminiere $z$ aus dem System.

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Schritt 6.1

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $z$ umkehrt.

$(- 1) \cdot (14 x - 3 z) = (- 1) (9)$

$- 22 x - 3 z = - 18$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1.1

Vereinfache $(- 1) \cdot (14 x - 3 z)$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 (14 x) - 1 (- 3 z) = (- 1) (9)$

$- 22 x - 3 z = - 18$

Schritt 6.2.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 6.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $14$ mit $- 1$ .

$- 14 x - 1 (- 3 z) = (- 1) (9)$

$- 22 x - 3 z = - 18$

Schritt 6.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$- 14 x + 3 z = (- 1) (9)$

$- 22 x - 3 z = - 18$

$- 14 x + 3 z = (- 1) (9)$

$- 22 x - 3 z = - 18$

$- 14 x + 3 z = (- 1) (9)$

$- 22 x - 3 z = - 18$

$- 14 x + 3 z = (- 1) (9)$

$- 22 x - 3 z = - 18$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$- 14 x + 3 z = - 9$

$- 22 x - 3 z = - 18$

$- 14 x + 3 z = - 9$

$- 22 x - 3 z = - 18$

$- 14 x + 3 z = - 9$

$- 22 x - 3 z = - 18$

Schritt 6.3

Addiere die beiden Gleichungen, um $z$ aus dem System zu beseitigen.

	$-$	$1$	$4$	$x$	$+$	$3$	$z$	$=$		$-$	$9$
$+$	$-$	$2$	$2$	$x$	$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$
	$-$	$3$	$6$	$x$				$=$	$-$	$2$	$7$

Schritt 6.4

In der resultierenden Gleichung ist $z$ eliminiert.

$- 36 x = - 27$

Schritt 6.5

Teile jeden Ausdruck in $- 36 x = - 27$ durch $- 36$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 36 x = - 27$ durch $- 36$ .

$\frac{- 36 x}{- 36} = \frac{- 27}{- 36}$

Schritt 6.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 36$ .

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Schritt 6.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 36 x}{- 36} = \frac{- 27}{- 36}$

Schritt 6.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 27}{- 36}$

Schritt 6.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 27$ und $- 36$ .

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Schritt 6.5.3.1.1

Faktorisiere $- 9$ aus $- 27$ heraus.

$x = \frac{- 9 (3)}{- 36}$

Schritt 6.5.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.5.3.1.2.1

Faktorisiere $- 9$ aus $- 36$ heraus.

$x = \frac{- 9 \cdot 3}{- 9 \cdot 4}$

Schritt 6.5.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 9 \cdot 3}{- 9 \cdot 4}$

Schritt 6.5.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{3}{4}$

Schritt 7

Setze den Wert von $x$ in eine Gleichung ein, aus der $y$ bereits eliminiert wurde und löse nach der verbleibenden Variablen auf.

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Schritt 7.1

Setze den Wert von $x$ in eine Gleichung ein, aus der $y$ bereits eliminiert wurde.

$14 (\frac{3}{4}) - 3 z = 9$

Schritt 7.2

Löse nach $z$ auf.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$2 (7) \frac{3}{4} - 3 z = 9$

Schritt 7.2.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 \cdot 7 \frac{3}{2 \cdot 2} - 3 z = 9$

Schritt 7.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 7 \frac{3}{2 \cdot 2} - 3 z = 9$

Schritt 7.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$7 (\frac{3}{2}) - 3 z = 9$

Schritt 7.2.1.2

Kombiniere $7$ und $\frac{3}{2}$ .

$\frac{7 \cdot 3}{2} - 3 z = 9$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$\frac{21}{2} - 3 z = 9$

Schritt 7.2.2

Bringe alle Terme, die nicht $z$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $\frac{21}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 z = 9 - \frac{21}{2}$

Schritt 7.2.2.2

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 3 z = 9 \cdot \frac{2}{2} - \frac{21}{2}$

Schritt 7.2.2.3

Kombiniere $9$ und $\frac{2}{2}$ .

$- 3 z = \frac{9 \cdot 2}{2} - \frac{21}{2}$

Schritt 7.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 3 z = \frac{9 \cdot 2 - 21}{2}$

Schritt 7.2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.2.5.1

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$- 3 z = \frac{18 - 21}{2}$

Schritt 7.2.2.5.2

Subtrahiere $21$ von $18$ .

$- 3 z = \frac{- 3}{2}$

Schritt 7.2.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 3 z = - \frac{3}{2}$

Schritt 7.2.3

Teile jeden Ausdruck in $- 3 z = - \frac{3}{2}$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 z = - \frac{3}{2}$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 z}{- 3} = \frac{- \frac{3}{2}}{- 3}$

Schritt 7.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 7.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 z}{- 3} = \frac{- \frac{3}{2}}{- 3}$

Schritt 7.2.3.2.1.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z = \frac{- \frac{3}{2}}{- 3}$

Schritt 7.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$z = - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{- 3}$

Schritt 7.2.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{2}$ in den Zähler.

$z = \frac{- 3}{2} \cdot \frac{1}{- 3}$

Schritt 7.2.3.3.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$z = \frac{3 (- 1)}{2} \cdot \frac{1}{- 3}$

Schritt 7.2.3.3.2.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$z = \frac{3 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{3 \cdot - 1}$

Schritt 7.2.3.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$z = \frac{3 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{3 \cdot - 1}$

Schritt 7.2.3.3.2.5

Forme den Ausdruck um.

$z = \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{- 1}$

Schritt 7.2.3.3.3

Mutltipliziere $\frac{- 1}{2}$ mit $\frac{1}{- 1}$ .

$z = \frac{- 1}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.2.3.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$z = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 7.2.3.3.5

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$z = \frac{1}{2}$

Schritt 8

Setze den Wert jeder bekannten Variablen in eine der initialen Gleichungen ein und löse nach der letzten Variablen auf.

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Schritt 8.1

Setze den Wert jeder bekannten Variablen in eine der initialen Gleichungen ein.

$4 (\frac{3}{4}) + y - 2 (\frac{1}{2}) = 0$

Schritt 8.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache $4 (\frac{3}{4}) + y - 2 (\frac{1}{2})$ .

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Schritt 8.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 8.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{3}{4}) + y - 2 (\frac{1}{2}) = 0$

Schritt 8.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 + y - 2 (\frac{1}{2}) = 0$

Schritt 8.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$3 + y + 2 (- 1) \frac{1}{2} = 0$

Schritt 8.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 + y + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2} = 0$

Schritt 8.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 + y - 1 = 0$

Schritt 8.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$y + 2 = 0$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 2$

Schritt 9

Die Lösung des Gleichungssystems kann durch einen Punkt dargestellt werden.

$(\frac{3}{4}, - 2, \frac{1}{2})$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(\frac{3}{4}, - 2, \frac{1}{2})$

Gleichungsform:

$x = \frac{3}{4}, y = - 2, z = \frac{1}{2}$

Gib DEINE Aufgabe ein

	$1$	$2$	$x$	$+$	$3$	$y$	$-$	$6$	$z$	$=$	$0$
$+$		$2$	$x$	$-$	$3$	$y$	$+$	$3$	$z$	$=$	$9$
	$1$	$4$	$x$				$-$	$3$	$z$	$=$	$9$

		$-$	$4$	$x$	$+$	$6$	$y$	$-$	$6$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$
$+$	$-$	$1$	$8$	$x$	$-$	$6$	$y$	$+$	$3$	$z$	$=$			$0$
	$-$	$2$	$2$	$x$				$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$

	$-$	$1$	$4$	$x$	$+$	$3$	$z$	$=$		$-$	$9$
$+$	$-$	$2$	$2$	$x$	$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$
	$-$	$3$	$6$	$x$				$=$	$-$	$2$	$7$

	$1$	$2$	$x$	$+$	$3$	$y$	$-$	$6$	$z$	$=$	$0$
$+$		$2$	$x$	$-$	$3$	$y$	$+$	$3$	$z$	$=$	$9$
	$1$	$4$	$x$				$-$	$3$	$z$	$=$	$9$

		$-$	$4$	$x$	$+$	$6$	$y$	$-$	$6$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$
$+$	$-$	$1$	$8$	$x$	$-$	$6$	$y$	$+$	$3$	$z$	$=$			$0$
	$-$	$2$	$2$	$x$				$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$

	$-$	$1$	$4$	$x$	$+$	$3$	$z$	$=$		$-$	$9$
$+$	$-$	$2$	$2$	$x$	$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$
	$-$	$3$	$6$	$x$				$=$	$-$	$2$	$7$

	$1$	$2$	$x$	$+$	$3$	$y$	$-$	$6$	$z$	$=$	$0$
$+$		$2$	$x$	$-$	$3$	$y$	$+$	$3$	$z$	$=$	$9$
	$1$	$4$	$x$				$-$	$3$	$z$	$=$	$9$

		$-$	$4$	$x$	$+$	$6$	$y$	$-$	$6$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$
$+$	$-$	$1$	$8$	$x$	$-$	$6$	$y$	$+$	$3$	$z$	$=$			$0$
	$-$	$2$	$2$	$x$				$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$

	$-$	$1$	$4$	$x$	$+$	$3$	$z$	$=$		$-$	$9$
$+$	$-$	$2$	$2$	$x$	$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$
	$-$	$3$	$6$	$x$				$=$	$-$	$2$	$7$