Elementarmathematik Beispiele

\frac{5 i + 15}{2 i - 1}

$\frac{5 i + 15}{2 i - 1}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler und den Nenner von

\frac{5 i + 15}{- 1 + 2 i}

$\frac{5 i + 15}{- 1 + 2 i}$ mit der Konjugierten von

- 1 + 2 i

$- 1 + 2 i$ , um den Nenner reell zu machen.

\frac{5 i + 15}{- 1 + 2 i} \cdot \frac{- 1 - 2 i}{- 1 - 2 i}

$\frac{5 i + 15}{- 1 + 2 i} \cdot \frac{- 1 - 2 i}{- 1 - 2 i}$

Schritt 2

Multipliziere.

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Schritt 2.1

Kombinieren.

\frac{(5 i + 15) (- 1 - 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}

$\frac{(5 i + 15) (- 1 - 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere

(5 i + 15) (- 1 - 2 i)

$(5 i + 15) (- 1 - 2 i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{5 i (- 1 - 2 i) + 15 (- 1 - 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}

$\frac{5 i (- 1 - 2 i) + 15 (- 1 - 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Schritt 2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{5 i \cdot - 1 + 5 i (- 2 i) + 15 (- 1 - 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}

$\frac{5 i \cdot - 1 + 5 i (- 2 i) + 15 (- 1 - 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Schritt 2.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{5 i \cdot - 1 + 5 i (- 2 i) + 15 \cdot - 1 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}

$\frac{5 i \cdot - 1 + 5 i (- 2 i) + 15 \cdot - 1 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

\frac{5 i \cdot - 1 + 5 i (- 2 i) + 15 \cdot - 1 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}

$\frac{5 i \cdot - 1 + 5 i (- 2 i) + 15 \cdot - 1 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

5

$5$ .

\frac{- 5 i + 5 i (- 2 i) + 15 \cdot - 1 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}

$\frac{- 5 i + 5 i (- 2 i) + 15 \cdot - 1 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Schritt 2.2.2.1.2

Multipliziere

5 i (- 2 i)

$5 i (- 2 i)$ .

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Schritt 2.2.2.1.2.1

Mutltipliziere

- 2

$- 2$ mit

5

$5$ .

\frac{- 5 i - 10 i i + 15 \cdot - 1 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}

$\frac{- 5 i - 10 i i + 15 \cdot - 1 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Schritt 2.2.2.1.2.2

Potenziere

i

$i$ mit

1

$1$ .

\frac{- 5 i - 10 (i^{1} i) + 15 \cdot - 1 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}

$\frac{- 5 i - 10 (i^{1} i) + 15 \cdot - 1 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Schritt 2.2.2.1.2.3

Potenziere

i

$i$ mit

1

$1$ .

\frac{- 5 i - 10 (i^{1} i^{1}) + 15 \cdot - 1 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}

$\frac{- 5 i - 10 (i^{1} i^{1}) + 15 \cdot - 1 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Schritt 2.2.2.1.2.4

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

\frac{- 5 i - 10 i^{1 + 1} + 15 \cdot - 1 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}

$\frac{- 5 i - 10 i^{1 + 1} + 15 \cdot - 1 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Schritt 2.2.2.1.2.5

Addiere

1

$1$ und

1

$1$ .

\frac{- 5 i - 10 i^{2} + 15 \cdot - 1 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}

$\frac{- 5 i - 10 i^{2} + 15 \cdot - 1 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

\frac{- 5 i - 10 i^{2} + 15 \cdot - 1 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}

$\frac{- 5 i - 10 i^{2} + 15 \cdot - 1 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Schritt 2.2.2.1.3

Schreibe

i^{2}

$i^{2}$ als

- 1

$- 1$ um.

\frac{- 5 i - 10 \cdot - 1 + 15 \cdot - 1 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}

$\frac{- 5 i - 10 \cdot - 1 + 15 \cdot - 1 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Schritt 2.2.2.1.4

Mutltipliziere

- 10

$- 10$ mit

- 1

$- 1$ .

\frac{- 5 i + 10 + 15 \cdot - 1 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}

$\frac{- 5 i + 10 + 15 \cdot - 1 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Schritt 2.2.2.1.5

Mutltipliziere

15

$15$ mit

- 1

$- 1$ .

\frac{- 5 i + 10 - 15 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}

$\frac{- 5 i + 10 - 15 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Schritt 2.2.2.1.6

Mutltipliziere

- 2

$- 2$ mit

15

$15$ .

\frac{- 5 i + 10 - 15 - 30 i}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}

$\frac{- 5 i + 10 - 15 - 30 i}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

\frac{- 5 i + 10 - 15 - 30 i}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}

$\frac{- 5 i + 10 - 15 - 30 i}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere

30 i

$30 i$ von

- 5 i

$- 5 i$ .

\frac{10 - 15 - 35 i}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}

$\frac{10 - 15 - 35 i}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Schritt 2.2.2.3

Subtrahiere

15

$15$ von

10

$10$ .

\frac{- 5 - 35 i}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}

$\frac{- 5 - 35 i}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

\frac{- 5 - 35 i}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}

$\frac{- 5 - 35 i}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

\frac{- 5 - 35 i}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}

$\frac{- 5 - 35 i}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Schritt 2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere

(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)

$(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{- 5 - 35 i}{- 1 (- 1 - 2 i) + 2 i (- 1 - 2 i)}

$\frac{- 5 - 35 i}{- 1 (- 1 - 2 i) + 2 i (- 1 - 2 i)}$

Schritt 2.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{- 5 - 35 i}{- 1 \cdot - 1 - 1 (- 2 i) + 2 i (- 1 - 2 i)}

$\frac{- 5 - 35 i}{- 1 \cdot - 1 - 1 (- 2 i) + 2 i (- 1 - 2 i)}$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{- 5 - 35 i}{- 1 \cdot - 1 - 1 (- 2 i) + 2 i \cdot - 1 + 2 i (- 2 i)}

$\frac{- 5 - 35 i}{- 1 \cdot - 1 - 1 (- 2 i) + 2 i \cdot - 1 + 2 i (- 2 i)}$

\frac{- 5 - 35 i}{- 1 \cdot - 1 - 1 (- 2 i) + 2 i \cdot - 1 + 2 i (- 2 i)}

$\frac{- 5 - 35 i}{- 1 \cdot - 1 - 1 (- 2 i) + 2 i \cdot - 1 + 2 i (- 2 i)}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 1

$- 1$ .

\frac{- 5 - 35 i}{1 - 1 (- 2 i) + 2 i \cdot - 1 + 2 i (- 2 i)}

$\frac{- 5 - 35 i}{1 - 1 (- 2 i) + 2 i \cdot - 1 + 2 i (- 2 i)}$

Schritt 2.3.2.2

Mutltipliziere

- 2

$- 2$ mit

- 1

$- 1$ .

\frac{- 5 - 35 i}{1 + 2 i + 2 i \cdot - 1 + 2 i (- 2 i)}

$\frac{- 5 - 35 i}{1 + 2 i + 2 i \cdot - 1 + 2 i (- 2 i)}$

Schritt 2.3.2.3

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

2

$2$ .

\frac{- 5 - 35 i}{1 + 2 i - 2 i + 2 i (- 2 i)}

$\frac{- 5 - 35 i}{1 + 2 i - 2 i + 2 i (- 2 i)}$

Schritt 2.3.2.4

Mutltipliziere

- 2

$- 2$ mit

2

$2$ .

\frac{- 5 - 35 i}{1 + 2 i - 2 i - 4 i i}

$\frac{- 5 - 35 i}{1 + 2 i - 2 i - 4 i i}$

Schritt 2.3.2.5

Potenziere

i

$i$ mit

1

$1$ .

\frac{- 5 - 35 i}{1 + 2 i - 2 i - 4 (i^{1} i)}

$\frac{- 5 - 35 i}{1 + 2 i - 2 i - 4 (i^{1} i)}$

Schritt 2.3.2.6

Potenziere

i

$i$ mit

1

$1$ .

\frac{- 5 - 35 i}{1 + 2 i - 2 i - 4 (i^{1} i^{1})}

$\frac{- 5 - 35 i}{1 + 2 i - 2 i - 4 (i^{1} i^{1})}$

Schritt 2.3.2.7

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

\frac{- 5 - 35 i}{1 + 2 i - 2 i - 4 i^{1 + 1}}

$\frac{- 5 - 35 i}{1 + 2 i - 2 i - 4 i^{1 + 1}}$

Schritt 2.3.2.8

Addiere

1

$1$ und

1

$1$ .

\frac{- 5 - 35 i}{1 + 2 i - 2 i - 4 i^{2}}

$\frac{- 5 - 35 i}{1 + 2 i - 2 i - 4 i^{2}}$

Schritt 2.3.2.9

Subtrahiere

2 i

$2 i$ von

2 i

$2 i$ .

\frac{- 5 - 35 i}{1 + 0 - 4 i^{2}}

$\frac{- 5 - 35 i}{1 + 0 - 4 i^{2}}$

Schritt 2.3.2.10

Addiere

1

$1$ und

0

$0$ .

\frac{- 5 - 35 i}{1 - 4 i^{2}}

$\frac{- 5 - 35 i}{1 - 4 i^{2}}$

\frac{- 5 - 35 i}{1 - 4 i^{2}}

$\frac{- 5 - 35 i}{1 - 4 i^{2}}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe

i^{2}

$i^{2}$ als

- 1

$- 1$ um.

\frac{- 5 - 35 i}{1 - 4 \cdot - 1}

$\frac{- 5 - 35 i}{1 - 4 \cdot - 1}$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

- 1

$- 1$ .

\frac{- 5 - 35 i}{1 + 4}

$\frac{- 5 - 35 i}{1 + 4}$

\frac{- 5 - 35 i}{1 + 4}

$\frac{- 5 - 35 i}{1 + 4}$

Schritt 2.3.4

Addiere

1

$1$ und

4

$4$ .

\frac{- 5 - 35 i}{5}

$\frac{- 5 - 35 i}{5}$

\frac{- 5 - 35 i}{5}

$\frac{- 5 - 35 i}{5}$

\frac{- 5 - 35 i}{5}

$\frac{- 5 - 35 i}{5}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Teiler von

- 5 - 35 i

$- 5 - 35 i$ und

5

$5$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere

5

$5$ aus

- 5

$- 5$ heraus.

\frac{5 \cdot - 1 - 35 i}{5}

$\frac{5 \cdot - 1 - 35 i}{5}$

Schritt 3.2

Faktorisiere

5

$5$ aus

- 35 i

$- 35 i$ heraus.

\frac{5 \cdot - 1 + 5 (- 7 i)}{5}

$\frac{5 \cdot - 1 + 5 (- 7 i)}{5}$

Schritt 3.3

Faktorisiere

5

$5$ aus

5 (- 1) + 5 (- 7 i)

$5 (- 1) + 5 (- 7 i)$ heraus.

\frac{5 (- 1 - 7 i)}{5}

$\frac{5 (- 1 - 7 i)}{5}$

Schritt 3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere

5

$5$ aus

5

$5$ heraus.

\frac{5 (- 1 - 7 i)}{5 (1)}

$\frac{5 (- 1 - 7 i)}{5 (1)}$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{5 (- 1 - 7 i)}{5 \cdot 1}

$\frac{5 (- 1 - 7 i)}{5 \cdot 1}$

Schritt 3.4.3

Forme den Ausdruck um.

\frac{- 1 - 7 i}{1}

$\frac{- 1 - 7 i}{1}$

Schritt 3.4.4

Dividiere

- 1 - 7 i

$- 1 - 7 i$ durch

1

$1$ .

- 1 - 7 i

$- 1 - 7 i$

- 1 - 7 i

$- 1 - 7 i$

- 1 - 7 i

$- 1 - 7 i$

Gib DEINE Aufgabe ein