Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x - 2}{x + 4} \geq 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 3

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 4

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 2$

$x = - 4$

Schritt 5

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 2, - 4$

Schritt 6

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x - 2}{x + 4}$ .

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{x - 2}{x + 4}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 4 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 6.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Schritt 7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 4$

$- 4 < x < 2$

$x > 2$

Schritt 8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 6) - 2}{(- 6) + 4} \geq 0$

Schritt 8.1.3

Die linke Seite $4$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 8.2

Teste einen Wert im Intervall $- 4 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 4 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 8.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(0) - 2}{(0) + 4} \geq 0$

Schritt 8.2.3

Die linke Seite $- 0.5$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 8.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(4) - 2}{(4) + 4} \geq 0$

Schritt 8.3.3

Die linke Seite $0.25$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 4$ Wahr

$- 4 < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

$x < - 4$ Wahr

$- 4 < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

Schritt 9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 4$ oder $x \geq 2$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - 4 or x \geq 2$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 4) \cup [2, \infty)$

Schritt 11

Gib DEINE Aufgabe ein