Elementarmathematik Beispiele

$(0, 3)$ , $(4, 9)$ , $(- 4, 3)$

Schritt 1

Benutze die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung $y = a x^{2} + b x + c$ als den Ausgangspunkt zum Auffinden der Gleichung durch die drei Punkte.

$y = a x^{2} + b x + c$

Schritt 2

Erzeuge ein System von Gleichungen durch Einsetzen der $x$ - und $y$ -Werte jedes Punkts in die Standardformel einer quadratischen Gleichung, um das System mit drei Gleichungen zu bilden.

$3 = a {(0)}^{2} + b (0) + c, 9 = a {(4)}^{2} + b (4) + c, 3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Löse in $3 = a \cdot 0^{2} + c$ nach $c$ auf.

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Schritt 3.1.1

Schreibe die Gleichung als $a \cdot 0^{2} + c = 3$ um.

$a \cdot 0^{2} + c = 3$

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

Schritt 3.1.2

Vereinfache $a \cdot 0^{2} + c$ .

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$a \cdot 0 + c = 3$

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

Schritt 3.1.2.1.2

Mutltipliziere $a$ mit $0$ .

$0 + c = 3$

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

$0 + c = 3$

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

Schritt 3.1.2.2

Addiere $0$ und $c$ .

$c = 3$

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

$c = 3$

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

$c = 3$

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

Schritt 3.2

Ersetze alle Vorkommen von $c$ durch $3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Ersetze alle $c$ in $9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$ durch $3$ .

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + 3$

$c = 3$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + 3$ .

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1.1

Entferne die Klammern.

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + 3$

$c = 3$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + 3$

$c = 3$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$9 = a \cdot 16 + b (4) + 3$

$c = 3$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Bringe $16$ auf die linke Seite von $a$ .

$9 = 16 \cdot a + b (4) + 3$

$c = 3$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

Schritt 3.2.2.2.1.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $b$ .

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $c$ in $3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$ durch $3$ .

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + 3$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

Schritt 3.2.4

Vereinfache $3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + 3$ .

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Schritt 3.2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.4.1.1

Entferne die Klammern.

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + 3$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + 3$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

Schritt 3.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.4.2.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$3 = a \cdot 16 + b (- 4) + 3$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

Schritt 3.2.4.2.1.2

Bringe $16$ auf die linke Seite von $a$ .

$3 = 16 \cdot a + b (- 4) + 3$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

Schritt 3.2.4.2.1.3

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $b$ .

$3 = 16 a - 4 b + 3$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$3 = 16 a - 4 b + 3$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$3 = 16 a - 4 b + 3$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$3 = 16 a - 4 b + 3$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$3 = 16 a - 4 b + 3$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

Schritt 3.3

Löse in $3 = 16 a - 4 b + 3$ nach $a$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $16 a - 4 b + 3 = 3$ um.

$16 a - 4 b + 3 = 3$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $a$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $4 b$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$16 a + 3 = 3 + 4 b$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$16 a = 3 + 4 b - 3$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

Schritt 3.3.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 + 4 b - 3$ .

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Schritt 3.3.2.3.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$16 a = 4 b + 0$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

Schritt 3.3.2.3.2

Addiere $4 b$ und $0$ .

$16 a = 4 b$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$16 a = 4 b$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$16 a = 4 b$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

Schritt 3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $16 a = 4 b$ durch $16$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $16 a = 4 b$ durch $16$ .

$\frac{16 a}{16} = \frac{4 b}{16}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 a}{16} = \frac{4 b}{16}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

Schritt 3.3.3.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{4 b}{16}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$a = \frac{4 b}{16}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$a = \frac{4 b}{16}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

Schritt 3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $16$ .

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Schritt 3.3.3.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 b$ heraus.

$a = \frac{4 (b)}{16}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

Schritt 3.3.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.3.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$a = \frac{4 b}{4 \cdot 4}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

Schritt 3.3.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = \frac{4 b}{4 \cdot 4}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

Schritt 3.3.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$a = \frac{b}{4}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$a = \frac{b}{4}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$a = \frac{b}{4}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$a = \frac{b}{4}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$a = \frac{b}{4}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$a = \frac{b}{4}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

Schritt 3.4

Ersetze alle Vorkommen von $a$ durch $\frac{b}{4}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Ersetze alle $a$ in $9 = 16 a + 4 b + 3$ durch $\frac{b}{4}$ .

$9 = 16 (\frac{b}{4}) + 4 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache $16 (\frac{b}{4}) + 4 b + 3$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$9 = 4 (4) (\frac{b}{4}) + 4 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 = 4 \cdot (4 (\frac{b}{4})) + 4 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Schritt 3.4.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$9 = 4 b + 4 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$9 = 4 b + 4 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Schritt 3.4.2.1.2

Addiere $4 b$ und $4 b$ .

$9 = 8 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$9 = 8 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$9 = 8 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$9 = 8 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Schritt 3.5

Löse in $9 = 8 b + 3$ nach $b$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $8 b + 3 = 9$ um.

$8 b + 3 = 9$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Schritt 3.5.2

Bringe alle Terme, die nicht $b$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 b = 9 - 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Schritt 3.5.2.2

Subtrahiere $3$ von $9$ .

$8 b = 6$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$8 b = 6$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Schritt 3.5.3

Teile jeden Ausdruck in $8 b = 6$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $8 b = 6$ durch $8$ .

$\frac{8 b}{8} = \frac{6}{8}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Schritt 3.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 b}{8} = \frac{6}{8}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Schritt 3.5.3.2.1.2

Dividiere $b$ durch $1$ .

$b = \frac{6}{8}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$b = \frac{6}{8}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$b = \frac{6}{8}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Schritt 3.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $8$ .

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Schritt 3.5.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$b = \frac{2 (3)}{8}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Schritt 3.5.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$b = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Schritt 3.5.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$b = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Schritt 3.5.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$b = \frac{3}{4}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$b = \frac{3}{4}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$b = \frac{3}{4}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$b = \frac{3}{4}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$b = \frac{3}{4}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$b = \frac{3}{4}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Schritt 3.6

Ersetze alle Vorkommen von $b$ durch $\frac{3}{4}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.6.1

Ersetze alle $b$ in $a = \frac{b}{4}$ durch $\frac{3}{4}$ .

$a = \frac{\frac{3}{4}}{4}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 3$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.1

Vereinfache $\frac{\frac{3}{4}}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$a = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 3$

Schritt 3.6.2.1.2

Multipliziere $\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$a = \frac{3}{4 \cdot 4}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 3$

Schritt 3.6.2.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$a = \frac{3}{16}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 3$

$a = \frac{3}{16}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 3$

$a = \frac{3}{16}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 3$

$a = \frac{3}{16}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 3$

$a = \frac{3}{16}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 3$

Schritt 3.7

Liste alle Lösungen auf.

$a = \frac{3}{16}, b = \frac{3}{4}, c = 3$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte von $a$ , $b$ und $c$ in die Formel für eine quadratische Gleichung ein, um die resultierende Gleichung zu ermitteln.

$y = \frac{3 x^{2}}{16} + \frac{3 x}{4} + 3$

Schritt 5

Gib DEINE Aufgabe ein