Elementarmathematik Beispiele

$(0, 9)$ , $(5, 4)$ , $(1, 4)$

Schritt 1

Benutze die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung $y = a x^{2} + b x + c$ als den Ausgangspunkt zum Auffinden der Gleichung durch die drei Punkte.

$y = a x^{2} + b x + c$

Schritt 2

Erzeuge ein System von Gleichungen durch Einsetzen der $x$ - und $y$ -Werte jedes Punkts in die Standardformel einer quadratischen Gleichung, um das System mit drei Gleichungen zu bilden.

$9 = a {(0)}^{2} + b (0) + c, 4 = a {(5)}^{2} + b (5) + c, 4 = a {(1)}^{2} + b (1) + c$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Löse in $9 = a \cdot 0^{2} + c$ nach $c$ auf.

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Schritt 3.1.1

Schreibe die Gleichung als $a \cdot 0^{2} + c = 9$ um.

$a \cdot 0^{2} + c = 9$

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

$4 = a + b + c$

Schritt 3.1.2

Vereinfache $a \cdot 0^{2} + c$ .

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$a \cdot 0 + c = 9$

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

$4 = a + b + c$

Schritt 3.1.2.1.2

Mutltipliziere $a$ mit $0$ .

$0 + c = 9$

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

$4 = a + b + c$

$0 + c = 9$

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

$4 = a + b + c$

Schritt 3.1.2.2

Addiere $0$ und $c$ .

$c = 9$

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

$4 = a + b + c$

$c = 9$

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

$4 = a + b + c$

$c = 9$

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

$4 = a + b + c$

Schritt 3.2

Ersetze alle Vorkommen von $c$ durch $9$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Ersetze alle $c$ in $4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$ durch $9$ .

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + c$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + 9$ .

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1.1

Entferne die Klammern.

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + c$

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + c$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$4 = a \cdot 25 + b (5) + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + c$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Bringe $25$ auf die linke Seite von $a$ .

$4 = 25 \cdot a + b (5) + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + c$

Schritt 3.2.2.2.1.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $b$ .

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + c$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + c$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + c$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + c$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $c$ in $4 = a + b + c$ durch $9$ .

$4 = a + b + 9$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

Schritt 3.2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.4.1

Entferne die Klammern.

$4 = a + b + 9$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + 9$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + 9$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

Schritt 3.3

Löse in $4 = a + b + 9$ nach $a$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $a + b + 9 = 4$ um.

$a + b + 9 = 4$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $a$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $b$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a + 9 = 4 - b$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a = 4 - b - 9$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

Schritt 3.3.2.3

Subtrahiere $9$ von $4$ .

$a = - b - 5$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

$a = - b - 5$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

$a = - b - 5$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

Schritt 3.4

Ersetze alle Vorkommen von $a$ durch $- b - 5$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Ersetze alle $a$ in $4 = 25 a + 5 b + 9$ durch $- b - 5$ .

$4 = 25 (- b - 5) + 5 b + 9$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache $25 (- b - 5) + 5 b + 9$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 = 25 (- b) + 25 \cdot - 5 + 5 b + 9$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$4 = - 25 b + 25 \cdot - 5 + 5 b + 9$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Schritt 3.4.2.1.1.3

Mutltipliziere $25$ mit $- 5$ .

$4 = - 25 b - 125 + 5 b + 9$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$4 = - 25 b - 125 + 5 b + 9$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Schritt 3.4.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.4.2.1.2.1

Addiere $- 25 b$ und $5 b$ .

$4 = - 20 b - 125 + 9$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Schritt 3.4.2.1.2.2

Addiere $- 125$ und $9$ .

$4 = - 20 b - 116$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$4 = - 20 b - 116$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$4 = - 20 b - 116$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$4 = - 20 b - 116$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$4 = - 20 b - 116$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Schritt 3.5

Löse in $4 = - 20 b - 116$ nach $b$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 20 b - 116 = 4$ um.

$- 20 b - 116 = 4$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Schritt 3.5.2

Bringe alle Terme, die nicht $b$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.2.1

Addiere $116$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 20 b = 4 + 116$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Schritt 3.5.2.2

Addiere $4$ und $116$ .

$- 20 b = 120$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$- 20 b = 120$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Schritt 3.5.3

Teile jeden Ausdruck in $- 20 b = 120$ durch $- 20$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 20 b = 120$ durch $- 20$ .

$\frac{- 20 b}{- 20} = \frac{120}{- 20}$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Schritt 3.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 20$ .

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Schritt 3.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 20 b}{- 20} = \frac{120}{- 20}$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Schritt 3.5.3.2.1.2

Dividiere $b$ durch $1$ .

$b = \frac{120}{- 20}$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$b = \frac{120}{- 20}$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$b = \frac{120}{- 20}$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Schritt 3.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.3.1

Dividiere $120$ durch $- 20$ .

$b = - 6$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$b = - 6$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$b = - 6$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$b = - 6$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Schritt 3.6

Ersetze alle Vorkommen von $b$ durch $- 6$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.6.1

Ersetze alle $b$ in $a = - b - 5$ durch $- 6$ .

$a = - (- 6) - 5$

$b = - 6$

$c = 9$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.2.1

Vereinfache $- (- 6) - 5$ .

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Schritt 3.6.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$a = 6 - 5$

$b = - 6$

$c = 9$

Schritt 3.6.2.1.2

Subtrahiere $5$ von $6$ .

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 9$

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 9$

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 9$

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 9$

Schritt 3.7

Liste alle Lösungen auf.

$a = 1, b = - 6, c = 9$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte von $a$ , $b$ und $c$ in die Formel für eine quadratische Gleichung ein, um die resultierende Gleichung zu ermitteln.

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 5

Gib DEINE Aufgabe ein