Elementarmathematik Beispiele

[\begin{matrix} 2 & 1 4 & 1 \end{matrix}] - [\begin{matrix} - 3 & - 3 - 5 & - 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 1 \end{array}] - [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \\ - 5 & - 3 \end{array}]$

Schritt 1

Subtrahiere die entsprechenden Elemente.

[\begin{matrix} 2 + 3 & 1 + 3 4 + 5 & 1 + 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 2 + 3 & 1 + 3 \\ 4 + 5 & 1 + 3 \end{array}]$

Schritt 2

Vereinfache jedes Element.

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Schritt 2.1

Addiere

2

$2$ und

3

$3$ .

[\begin{matrix} 5 & 1 + 3 4 + 5 & 1 + 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 & 1 + 3 \\ 4 + 5 & 1 + 3 \end{array}]$

Schritt 2.2

Addiere

1

$1$ und

3

$3$ .

[\begin{matrix} 5 & 4 4 + 5 & 1 + 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 & 4 \\ 4 + 5 & 1 + 3 \end{array}]$

Schritt 2.3

Addiere

4

$4$ und

5

$5$ .

[\begin{matrix} 5 & 4 9 & 1 + 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 & 4 \\ 9 & 1 + 3 \end{array}]$

Schritt 2.4

Addiere

1

$1$ und

3

$3$ .

[\begin{matrix} 5 & 4 9 & 4 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 & 4 \\ 9 & 4 \end{array}]$

[\begin{matrix} 5 & 4 9 & 4 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 & 4 \\ 9 & 4 \end{array}]$

Schritt 3

Die Umkehrfunktion einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ bestimmt werden, wobei

a d - b c

$a d - b c$ die Determinante ist.

Schritt 4

Bestimme die Determinante.

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Schritt 4.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

5 \cdot 4 - 9 \cdot 4

$5 \cdot 4 - 9 \cdot 4$

Schritt 4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere

5

$5$ mit

4

$4$ .

20 - 9 \cdot 4

$20 - 9 \cdot 4$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere

- 9

$- 9$ mit

4

$4$ .

20 - 36

$20 - 36$

20 - 36

$20 - 36$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere

$36$ von

$20$ .

$- 16$

Schritt 5

Da die Determinante ungleich null ist, existiert die Umkehrfunktion.

Schritt 6

Setze die bekannten Werte in die Formel für die Umkehrfunktion ein.

$\frac{1}{- 16} [\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 9 & 5 \end{array}]$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{16} [\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 9 & 5 \end{array}]$

Schritt 8

Multipliziere

$- \frac{1}{16}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} \cdot 4 & - \frac{1}{16} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 9

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$4$ .

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Schritt 9.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in

$- \frac{1}{16}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{16} \cdot 4 & - \frac{1}{16} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 9.1.2

Faktorisiere

$4$ aus

$16$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{4 (4)} \cdot 4 & - \frac{1}{16} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 9.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{4 \cdot 4} \cdot 4 & - \frac{1}{16} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 9.1.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{4} & - \frac{1}{16} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 9.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & - \frac{1}{16} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$4$ .

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Schritt 9.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in

$- \frac{1}{16}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{- 1}{16} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 9.3.2

Faktorisiere

$4$ aus

$16$ heraus.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{- 1}{4 (4)} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 9.3.3

Faktorisiere

$4$ aus

$- 4$ heraus.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{- 1}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 9.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{- 1}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 9.3.5

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{- 1}{4} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 9.4

Kombiniere

$\frac{- 1}{4}$ und

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{- - 1}{4} \\ - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 9.5

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{16} \cdot - 9 & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 9.6

Multipliziere

$- \frac{1}{16} \cdot - 9$ .

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Schritt 9.6.1

Mutltipliziere

$- 9$ mit

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ 9 (\frac{1}{16}) & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 9.6.2

Kombiniere

$9$ und

$\frac{1}{16}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{9}{16} & - \frac{1}{16} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 9.7

Multipliziere

$- \frac{1}{16} \cdot 5$ .

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Schritt 9.7.1

Mutltipliziere

$5$ mit

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{9}{16} & - 5 (\frac{1}{16}) \end{array}]$

Schritt 9.7.2

Kombiniere

$- 5$ und

$\frac{1}{16}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{9}{16} & \frac{- 5}{16} \end{array}]$

Schritt 9.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{9}{16} & - \frac{5}{16} \end{array}]$

Gib DEINE Aufgabe ein