Elementarmathematik Beispiele

[\begin{array}{c} 3 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 3 \end{array}]$

Schritt 1

Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten

0

$0$ Elementen. Wenn keine

0

$0$ Elemente vorhanden sind, wähle irgendeine Zeile oder Spalte. Multipliziere jedes Element in Spalte

1

$1$ mit seinem Kofaktor und füge hinzu.

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Schritt 1.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer

-

$-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 1.3

Die Unterdeterminante für

a_{11}

$a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile

1

$1$ und Spalte

1

$1$ eliminiert werden.

| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Schritt 1.4

Multipliziere Element

a_{11}

$a_{11}$ mit seinen Kofaktoren.

3 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} |

$3 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Schritt 1.5

Die Unterdeterminante für

a_{12}

$a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile

1

$1$ und Spalte

2

$2$ eliminiert werden.

| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Schritt 1.6

Multipliziere Element

a_{12}

$a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

0 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} |

$0 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Schritt 1.7

Die Unterdeterminante für

a_{13}

$a_{13}$ ist die Determinante, wenn Zeile

1

$1$ und Spalte

3

$3$ eliminiert werden.

| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 1.8

Multipliziere Element

a_{13}

$a_{13}$ mit seinen Kofaktoren.

1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |

$1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 1.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

3 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |

$3 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

3 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |

$3 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 2

Mutltipliziere

0

$0$ mit

| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} |$ .

3 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} | + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |

$3 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} | + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 3

Berechne

| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} |$ .

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Schritt 3.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

3 (4 \cdot 3 - 4 \cdot 4) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |

$3 (4 \cdot 3 - 4 \cdot 4) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere

4

$4$ mit

3

$3$ .

3 (12 - 4 \cdot 4) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |

$3 (12 - 4 \cdot 4) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

4

$4$ .

3 (12 - 16) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |

$3 (12 - 16) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

3 (12 - 16) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |

$3 (12 - 16) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere

16

$16$ von

12

$12$ .

3 \cdot - 4 + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |

$3 \cdot - 4 + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

3 \cdot - 4 + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |

$3 \cdot - 4 + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

3 \cdot - 4 + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |

$3 \cdot - 4 + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 4

Berechne

| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$ .

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Schritt 4.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

3 \cdot - 4 + 0 + 1 (2 \cdot 4 - 4 \cdot 4)

$3 \cdot - 4 + 0 + 1 (2 \cdot 4 - 4 \cdot 4)$

Schritt 4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere

2

$2$ mit

4

$4$ .

3 \cdot - 4 + 0 + 1 (8 - 4 \cdot 4)

$3 \cdot - 4 + 0 + 1 (8 - 4 \cdot 4)$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

4

$4$ .

3 \cdot - 4 + 0 + 1 (8 - 16)

$3 \cdot - 4 + 0 + 1 (8 - 16)$

3 \cdot - 4 + 0 + 1 (8 - 16)

$3 \cdot - 4 + 0 + 1 (8 - 16)$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere

16

$16$ von

8

$8$ .

3 \cdot - 4 + 0 + 1 \cdot - 8

$3 \cdot - 4 + 0 + 1 \cdot - 8$

3 \cdot - 4 + 0 + 1 \cdot - 8

$3 \cdot - 4 + 0 + 1 \cdot - 8$

3 \cdot - 4 + 0 + 1 \cdot - 8

$3 \cdot - 4 + 0 + 1 \cdot - 8$

Schritt 5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere

3

$3$ mit

- 4

$- 4$ .

- 12 + 0 + 1 \cdot - 8

$- 12 + 0 + 1 \cdot - 8$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere

- 8

$- 8$ mit

1

$1$ .

- 12 + 0 - 8

$- 12 + 0 - 8$

- 12 + 0 - 8

$- 12 + 0 - 8$

Schritt 5.2

Addiere

- 12

$- 12$ und

0

$0$ .

- 12 - 8

$- 12 - 8$

Schritt 5.3

Subtrahiere

8

$8$ von

- 12

$- 12$ .

- 20

$- 20$

- 20

$- 20$

Gib DEINE Aufgabe ein