Elementarmathematik Beispiele

x^{2} - 4 x - 12 < 0

$x^{2} - 4 x - 12 < 0$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

x^{2} - 4 x - 12 = 0

$x^{2} - 4 x - 12 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere

x^{2} - 4 x - 12

$x^{2} - 4 x - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt

c

$c$ und deren Summe

b

$b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt

- 12

$- 12$ und deren Summe

- 4

$- 4$ ist.

- 6, 2

$- 6, 2$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

(x - 6) (x + 2) = 0

$(x - 6) (x + 2) = 0$

(x - 6) (x + 2) = 0

$(x - 6) (x + 2) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

0

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

0

$0$ .

x - 6 = 0

$x - 6 = 0$

x + 2 = 0

$x + 2 = 0$

Schritt 4

Setze

x - 6

$x - 6$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze

x - 6

$x - 6$ gleich

0

$0$ .

x - 6 = 0

$x - 6 = 0$

Schritt 4.2

Addiere

6

$6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

x = 6

$x = 6$

x = 6

$x = 6$

Schritt 5

Setze

x + 2

$x + 2$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze

x + 2

$x + 2$ gleich

0

$0$ .

x + 2 = 0

$x + 2 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere

2

$2$ von beiden Seiten der Gleichung.

x = - 2

$x = - 2$

x = - 2

$x = - 2$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

(x - 6) (x + 2) = 0

$(x - 6) (x + 2) = 0$ wahr machen.

x = 6, - 2

$x = 6, - 2$

Schritt 7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

x < - 2

$x < - 2$

- 2 < x < 6

$- 2 < x < 6$

x > 6

$x > 6$

Schritt 8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.1

Teste einen Wert im Intervall

x < - 2

$x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall

x < - 2

$x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

x = - 4

$x = - 4$

Schritt 8.1.2

Ersetze

x

$x$ durch

- 4

$- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

{(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 - 12 < 0

${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 - 12 < 0$

Schritt 8.1.3

Die linke Seite

20

$20$ ist nicht kleiner als die rechte Seite

0

$0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.2

Teste einen Wert im Intervall

- 2 < x < 6

$- 2 < x < 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall

- 2 < x < 6

$- 2 < x < 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

x = 0

$x = 0$

Schritt 8.2.2

Ersetze

x

$x$ durch

0

$0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

{(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 12 < 0

${(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 12 < 0$

Schritt 8.2.3

Die linke Seite

- 12

$- 12$ ist kleiner als die rechte Seite

0

$0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 8.3

Teste einen Wert im Intervall

x > 6

$x > 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall

x > 6

$x > 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

x = 8

$x = 8$

Schritt 8.3.2

Ersetze

x

$x$ durch

8

$8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

{(8)}^{2} - 4 \cdot 8 - 12 < 0

${(8)}^{2} - 4 \cdot 8 - 12 < 0$

Schritt 8.3.3

Die linke Seite

20

$20$ ist nicht kleiner als die rechte Seite

0

$0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

x < - 2

$x < - 2$ Falsch

- 2 < x < 6

$- 2 < x < 6$ Wahr

x > 6

$x > 6$ Falsch

x < - 2

$x < - 2$ Falsch

- 2 < x < 6

$- 2 < x < 6$ Wahr

x > 6

$x > 6$ Falsch

Schritt 9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

- 2 < x < 6

$- 2 < x < 6$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

- 2 < x < 6

$- 2 < x < 6$

Intervallschreibweise:

(- 2, 6)

$(- 2, 6)$

Schritt 11

Gib DEINE Aufgabe ein