Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + 10 x - 24 < 0$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} + 10 x - 24 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} + 10 x - 24$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 24$ und deren Summe $10$ ist.

$- 2, 12$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 2) (x + 12) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 12 = 0$

Schritt 4

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 5

Setze $x + 12$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x + 12$ gleich $0$ .

$x + 12 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 12$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 2) (x + 12) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 12$

Schritt 7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 12$

$- 12 < x < 2$

$x > 2$

Schritt 8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 12$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 12$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 14$

Schritt 8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 14$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 14)}^{2} + 10 (- 14) - 24 < 0$

Schritt 8.1.3

Die linke Seite $32$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 8.2

Teste einen Wert im Intervall $- 12 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 12 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 8.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(0)}^{2} + 10 (0) - 24 < 0$

Schritt 8.2.3

Die linke Seite $- 24$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 8.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(4)}^{2} + 10 (4) - 24 < 0$

Schritt 8.3.3

Die linke Seite $32$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 12$ Falsch

$- 12 < x < 2$ Wahr

$x > 2$ Falsch

$x < - 12$ Falsch

$- 12 < x < 2$ Wahr

$x > 2$ Falsch

Schritt 9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 12 < x < 2$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- 12 < x < 2$

Intervallschreibweise:

$(- 12, 2)$

Schritt 11

Gib DEINE Aufgabe ein