Elementarmathematik Beispiele

x^{2} + 8 x < 33

$x^{2} + 8 x < 33$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

x^{2} + 8 x = 33

$x^{2} + 8 x = 33$

Schritt 2

Subtrahiere

33

$33$ von beiden Seiten der Gleichung.

x^{2} + 8 x - 33 = 0

$x^{2} + 8 x - 33 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere

x^{2} + 8 x - 33

$x^{2} + 8 x - 33$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt

c

$c$ und deren Summe

b

$b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt

- 33

$- 33$ und deren Summe

8

$8$ ist.

- 3, 11

$- 3, 11$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

(x - 3) (x + 11) = 0

$(x - 3) (x + 11) = 0$

(x - 3) (x + 11) = 0

$(x - 3) (x + 11) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

0

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

0

$0$ .

x - 3 = 0

$x - 3 = 0$

x + 11 = 0

$x + 11 = 0$

Schritt 5

Setze

x - 3

$x - 3$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze

x - 3

$x - 3$ gleich

0

$0$ .

x - 3 = 0

$x - 3 = 0$

Schritt 5.2

Addiere

3

$3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

x = 3

$x = 3$

x = 3

$x = 3$

Schritt 6

Setze

x + 11

$x + 11$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze

x + 11

$x + 11$ gleich

0

$0$ .

x + 11 = 0

$x + 11 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere

11

$11$ von beiden Seiten der Gleichung.

x = - 11

$x = - 11$

x = - 11

$x = - 11$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

(x - 3) (x + 11) = 0

$(x - 3) (x + 11) = 0$ wahr machen.

x = 3, - 11

$x = 3, - 11$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

x < - 11

$x < - 11$

- 11 < x < 3

$- 11 < x < 3$

x > 3

$x > 3$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall

x < - 11

$x < - 11$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall

x < - 11

$x < - 11$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

x = - 14

$x = - 14$

Schritt 9.1.2

Ersetze

x

$x$ durch

- 14

$- 14$ in der ursprünglichen Ungleichung.

{(- 14)}^{2} + 8 (- 14) < 33

${(- 14)}^{2} + 8 (- 14) < 33$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite

84

$84$ ist nicht kleiner als die rechte Seite

33

$33$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall

- 11 < x < 3

$- 11 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall

- 11 < x < 3

$- 11 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

x = 0

$x = 0$

Schritt 9.2.2

Ersetze

x

$x$ durch

0

$0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

{(0)}^{2} + 8 (0) < 33

${(0)}^{2} + 8 (0) < 33$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite

0

$0$ ist kleiner als die rechte Seite

33

$33$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall

x > 3

$x > 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall

x > 3

$x > 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

x = 6

$x = 6$

Schritt 9.3.2

Ersetze

x

$x$ durch

6

$6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

{(6)}^{2} + 8 (6) < 33

${(6)}^{2} + 8 (6) < 33$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite

84

$84$ ist nicht kleiner als die rechte Seite

33

$33$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

x < - 11

$x < - 11$ Falsch

- 11 < x < 3

$- 11 < x < 3$ Wahr

x > 3

$x > 3$ Falsch

x < - 11

$x < - 11$ Falsch

- 11 < x < 3

$- 11 < x < 3$ Wahr

x > 3

$x > 3$ Falsch

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

- 11 < x < 3

$- 11 < x < 3$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

- 11 < x < 3

$- 11 < x < 3$

Intervallschreibweise:

(- 11, 3)

$(- 11, 3)$

Schritt 12

Gib DEINE Aufgabe ein