Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 3 x^{2} - 5$

Schritt 1

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ .

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Schritt 1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 3$

Schritt 1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 5, \pm \frac{5}{3}$

Schritt 2

Wende die synthetische Division auf $\frac{3 x^{2} - 5}{x - 5}$ an mit $x = 5$ .

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Schritt 2.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$5$	$3$	$0$	$- 5$

Schritt 2.2

Die erste Zahl im Dividenden $(3)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$5$	$3$	$0$	$- 5$

	$3$

Schritt 2.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(3)$ mit dem Divisor $(5)$ und schreibe das Ergebnis von $(15)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$5$	$3$	$0$	$- 5$
		$15$
	$3$

Schritt 2.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$5$	$3$	$0$	$- 5$
		$15$
	$3$	$15$

Schritt 2.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(15)$ mit dem Divisor $(5)$ und schreibe das Ergebnis von $(75)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 5)$ .

$5$	$3$	$0$	$- 5$
		$15$	$75$
	$3$	$15$

Schritt 2.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$5$	$3$	$0$	$- 5$
		$15$	$75$
	$3$	$15$	$70$

Schritt 2.7

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$(3) x + 15 + \frac{70}{x - 5}$

Schritt 2.8

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$3 x + 15 + \frac{70}{x - 5}$

Schritt 3

Da $5 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $5$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $5$

Schritt 4

Wende die synthetische Division auf $\frac{3 x^{2} - 5}{x + 5}$ an mit $x = - 5$ .

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Schritt 4.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 5$	$3$	$0$	$- 5$

Schritt 4.2

Die erste Zahl im Dividenden $(3)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 5$	$3$	$0$	$- 5$

	$3$

Schritt 4.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(3)$ mit dem Divisor $(- 5)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 15)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$- 5$	$3$	$0$	$- 5$
		$- 15$
	$3$

Schritt 4.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 5$	$3$	$0$	$- 5$
		$- 15$
	$3$	$- 15$

Schritt 4.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 15)$ mit dem Divisor $(- 5)$ und schreibe das Ergebnis von $(75)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 5)$ .

$- 5$	$3$	$0$	$- 5$
		$- 15$	$75$
	$3$	$- 15$

Schritt 4.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 5$	$3$	$0$	$- 5$
		$- 15$	$75$
	$3$	$- 15$	$70$

Schritt 4.7

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$(3) x - 15 + \frac{70}{x + 5}$

Schritt 4.8

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$3 x - 15 + \frac{70}{x + 5}$

Schritt 5

Da $- 5 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 5$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 5$

Schritt 6

Wende die synthetische Division auf $\frac{3 x^{2} - 5}{x - \frac{5}{3}}$ an mit $x = \frac{5}{3}$ .

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$\frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(3)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$\frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$

	$3$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(3)$ mit dem Divisor $(\frac{5}{3})$ und schreibe das Ergebnis von $(5)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$\frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$
		$5$
	$3$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$
		$5$
	$3$	$5$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(5)$ mit dem Divisor $(\frac{5}{3})$ und schreibe das Ergebnis von $(\frac{25}{3})$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 5)$ .

$\frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$
		$5$	$\frac{25}{3}$
	$3$	$5$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$
		$5$	$\frac{25}{3}$
	$3$	$5$	$\frac{10}{3}$

Schritt 6.7

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$(3) x + 5 + \frac{\frac{10}{3}}{x - \frac{5}{3}}$

Schritt 6.8

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$3 x + 5 + \frac{10}{3 x - 5}$

Schritt 7

Da $\frac{5}{3} > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $\frac{5}{3}$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $\frac{5}{3}$

Schritt 8

Wende die synthetische Division auf $\frac{3 x^{2} - 5}{x + \frac{5}{3}}$ an mit $x = - \frac{5}{3}$ .

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Schritt 8.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- \frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$

Schritt 8.2

Die erste Zahl im Dividenden $(3)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- \frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$

	$3$

Schritt 8.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(3)$ mit dem Divisor $(- \frac{5}{3})$ und schreibe das Ergebnis von $(- 5)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$- \frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$
		$- 5$
	$3$

Schritt 8.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$
		$- 5$
	$3$	$- 5$

Schritt 8.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 5)$ mit dem Divisor $(- \frac{5}{3})$ und schreibe das Ergebnis von $(\frac{25}{3})$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 5)$ .

$- \frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$
		$- 5$	$\frac{25}{3}$
	$3$	$- 5$

Schritt 8.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$
		$- 5$	$\frac{25}{3}$
	$3$	$- 5$	$\frac{10}{3}$

Schritt 8.7

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$(3) x - 5 + \frac{\frac{10}{3}}{x + \frac{5}{3}}$

Schritt 8.8

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$3 x - 5 + \frac{10}{3 x + 5}$

Schritt 9

Da $- \frac{5}{3} < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- \frac{5}{3}$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- \frac{5}{3}$

Schritt 10

Bestimme die oberen und unteren Grenzen.

Obere Schranken: $5, \frac{5}{3}$

Untere Schranken: $- 5, - \frac{5}{3}$

Schritt 11

Gib DEINE Aufgabe ein