Elementarmathematik Beispiele

f (x) = x^{2} - 3

$f (x) = x^{2} - 3$

Schritt 1

Ermittle jede Kombination von

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ .

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Schritt 1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ , wobei

p

$p$ ein Teiler der Konstanten und

q

$q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

p = \pm 1, \pm 3

$p = \pm 1, \pm 3$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

Schritt 1.2

Ermittle jede Kombination von

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

\pm 1, \pm 3

$\pm 1, \pm 3$

\pm 1, \pm 3

$\pm 1, \pm 3$

Schritt 2

Wende die synthetische Division auf

\frac{x^{2} - 3}{x - 3}

$\frac{x^{2} - 3}{x - 3}$ an mit

x = 3

$x = 3$ .

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Schritt 2.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$3$ $3$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 3$ $- 3$

Schritt 2.2

Die erste Zahl im Dividenden

(1)

$(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$3$ $3$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 3$ $- 3$

	$1$ $1$

Schritt 2.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis

(1)

$(1)$ mit dem Divisor

(3)

$(3)$ und schreibe das Ergebnis von

(3)

$(3)$ unter den nächsten Term im Dividenden

(0)

$(0)$ .

$3$ $3$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 3$ $- 3$
		$3$ $3$
	$1$ $1$

Schritt 2.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$ $3$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 3$ $- 3$
		$3$ $3$
	$1$ $1$	$3$ $3$

Schritt 2.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis

(3)

$(3)$ mit dem Divisor

(3)

$(3)$ und schreibe das Ergebnis von

(9)

$(9)$ unter den nächsten Term im Dividenden

(- 3)

$(- 3)$ .

$3$ $3$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 3$ $- 3$
		$3$ $3$	$9$ $9$
	$1$ $1$	$3$ $3$

Schritt 2.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$ $3$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 3$ $- 3$
		$3$ $3$	$9$ $9$
	$1$	$3$	$6$

Schritt 2.7

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$(1) x + 3 + \frac{6}{x - 3}$

Schritt 2.8

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x + 3 + \frac{6}{x - 3}$

Schritt 3

$3 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist

$3$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke:

$3$

Schritt 4

Wende die synthetische Division auf

$\frac{x^{2} - 3}{x + 3}$ an mit

$x = - 3$ .

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Schritt 4.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 3$	$1$	$0$	$- 3$

Schritt 4.2

Die erste Zahl im Dividenden

$(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 3$	$1$	$0$	$- 3$

	$1$

Schritt 4.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis

$(1)$ mit dem Divisor

$(- 3)$ und schreibe das Ergebnis von

$(- 3)$ unter den nächsten Term im Dividenden

$(0)$ .

$- 3$	$1$	$0$	$- 3$
		$- 3$
	$1$

Schritt 4.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 3$	$1$	$0$	$- 3$
		$- 3$
	$1$	$- 3$

Schritt 4.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis

$(- 3)$ mit dem Divisor

$(- 3)$ und schreibe das Ergebnis von

$(9)$ unter den nächsten Term im Dividenden

$(- 3)$ .

$- 3$	$1$	$0$	$- 3$
		$- 3$	$9$
	$1$	$- 3$

Schritt 4.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 3$	$1$	$0$	$- 3$
		$- 3$	$9$
	$1$	$- 3$	$6$

Schritt 4.7

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$(1) x - 3 + \frac{6}{x + 3}$

Schritt 4.8

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x - 3 + \frac{6}{x + 3}$

Schritt 5

$- 3 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist

$- 3$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke:

$- 3$

Schritt 6

Bestimme die oberen und unteren Grenzen.

Obere Schranke:

$3$

Untere Schranke:

$- 3$

Schritt 7

Gib DEINE Aufgabe ein