Elementarmathematik Beispiele

f (x) = 7 x^{2} + 5 x - 4

$f (x) = 7 x^{2} + 5 x - 4$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

\frac{f (x + h) - f (x)}{h}

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei

x = x + h

$x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

x

$x$ durch

x + h

$x + h$ .

f (x + h) = 7 {(x + h)}^{2} + 5 (x + h) - 4

$f (x + h) = 7 {(x + h)}^{2} + 5 (x + h) - 4$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

Schreibe

{(x + h)}^{2}

${(x + h)}^{2}$ als

(x + h) (x + h)

$(x + h) (x + h)$ um.

f (x + h) = 7 ((x + h) (x + h)) + 5 (x + h) - 4

$f (x + h) = 7 ((x + h) (x + h)) + 5 (x + h) - 4$

Schritt 2.1.2.1.2

Multipliziere

(x + h) (x + h)

$(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

f (x + h) = 7 (x (x + h) + h (x + h)) + 5 (x + h) - 4

$f (x + h) = 7 (x (x + h) + h (x + h)) + 5 (x + h) - 4$

Schritt 2.1.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

f (x + h) = 7 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 5 (x + h) - 4

$f (x + h) = 7 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 5 (x + h) - 4$

Schritt 2.1.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

f (x + h) = 7 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 5 (x + h) - 4

$f (x + h) = 7 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 5 (x + h) - 4$

f (x + h) = 7 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 5 (x + h) - 4

$f (x + h) = 7 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 5 (x + h) - 4$

Schritt 2.1.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.3.1.1

Mutltipliziere

x

$x$ mit

x

$x$ .

f (x + h) = 7 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 5 (x + h) - 4

$f (x + h) = 7 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 5 (x + h) - 4$

Schritt 2.1.2.1.3.1.2

Mutltipliziere

h

$h$ mit

h

$h$ .

f (x + h) = 7 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 5 (x + h) - 4

$f (x + h) = 7 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 5 (x + h) - 4$

f (x + h) = 7 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 5 (x + h) - 4

$f (x + h) = 7 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 5 (x + h) - 4$

Schritt 2.1.2.1.3.2

Addiere

x h

$x h$ und

h x

$h x$ .

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Schritt 2.1.2.1.3.2.1

Stelle

x

$x$ und

h

$h$ um.

f (x + h) = 7 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 5 (x + h) - 4

$f (x + h) = 7 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 5 (x + h) - 4$

Schritt 2.1.2.1.3.2.2

Addiere

h x

$h x$ und

h x

$h x$ .

f (x + h) = 7 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 5 (x + h) - 4

$f (x + h) = 7 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 5 (x + h) - 4$

f (x + h) = 7 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 5 (x + h) - 4

$f (x + h) = 7 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 5 (x + h) - 4$

f (x + h) = 7 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 5 (x + h) - 4

$f (x + h) = 7 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 5 (x + h) - 4$

Schritt 2.1.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 7 x^{2} + 7 (2 h x) + 7 h^{2} + 5 (x + h) - 4$

Schritt 2.1.2.1.5

Mutltipliziere

$2$ mit

$7$ .

$f (x + h) = 7 x^{2} + 14 (h x) + 7 h^{2} + 5 (x + h) - 4$

Schritt 2.1.2.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 5 x + 5 h - 4$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist

$7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 5 x + 5 h - 4$ .

$7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 5 x + 5 h - 4$

Schritt 2.2

Stelle um.

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Schritt 2.2.1

Bewege

$5 x$ .

$7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 5 h + 5 x - 4$

Schritt 2.2.2

Bewege

$7 x^{2}$ .

$14 h x + 7 h^{2} + 7 x^{2} + 5 h + 5 x - 4$

Schritt 2.2.3

Stelle

$14 h x$ und

$7 h^{2}$ um.

$7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 5 h + 5 x - 4$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 5 h + 5 x - 4$

$f (x) = 7 x^{2} + 5 x - 4$

$f (x + h) = 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 5 h + 5 x - 4$

$f (x) = 7 x^{2} + 5 x - 4$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 5 h + 5 x - 4 - (7 x^{2} + 5 x - 4)}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 5 h + 5 x - 4 - (7 x^{2}) - (5 x) - - 4}{h}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere

$7$ mit

$- 1$ .

$\frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 5 h + 5 x - 4 - 7 x^{2} - (5 x) - - 4}{h}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere

$5$ mit

$- 1$ .

$\frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 5 h + 5 x - 4 - 7 x^{2} - 5 x - - 4}{h}$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 4$ .

$\frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 5 h + 5 x - 4 - 7 x^{2} - 5 x + 4}{h}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere

$7 x^{2}$ von

$7 x^{2}$ .

$\frac{7 h^{2} + 14 h x + 5 h + 5 x - 4 + 0 - 5 x + 4}{h}$

Schritt 4.1.4

Addiere

$7 h^{2}$ und

$0$ .

$\frac{7 h^{2} + 14 h x + 5 h + 5 x - 4 - 5 x + 4}{h}$

Schritt 4.1.5

Subtrahiere

$5 x$ von

$5 x$ .

$\frac{7 h^{2} + 14 h x + 5 h + 0 - 4 + 4}{h}$

Schritt 4.1.6

Addiere

$7 h^{2}$ und

$0$ .

$\frac{7 h^{2} + 14 h x + 5 h - 4 + 4}{h}$

Schritt 4.1.7

Addiere

$- 4$ und

$4$ .

$\frac{7 h^{2} + 14 h x + 5 h + 0}{h}$

Schritt 4.1.8

Addiere

$7 h^{2} + 14 h x + 5 h$ und

$0$ .

$\frac{7 h^{2} + 14 h x + 5 h}{h}$

Schritt 4.1.9

Faktorisiere

$h$ aus

$7 h^{2} + 14 h x + 5 h$ heraus.

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Schritt 4.1.9.1

Faktorisiere

$h$ aus

$7 h^{2}$ heraus.

$\frac{h (7 h) + 14 h x + 5 h}{h}$

Schritt 4.1.9.2

Faktorisiere

$h$ aus

$14 h x$ heraus.

$\frac{h (7 h) + h (14 x) + 5 h}{h}$

Schritt 4.1.9.3

Faktorisiere

$h$ aus

$5 h$ heraus.

$\frac{h (7 h) + h (14 x) + h \cdot 5}{h}$

Schritt 4.1.9.4

Faktorisiere

$h$ aus

$h (7 h) + h (14 x)$ heraus.

$\frac{h (7 h + 14 x) + h \cdot 5}{h}$

Schritt 4.1.9.5

Faktorisiere

$h$ aus

$h (7 h + 14 x) + h \cdot 5$ heraus.

$\frac{h (7 h + 14 x + 5)}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$h$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h (7 h + 14 x + 5)}{h}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere

$7 h + 14 x + 5$ durch

$1$ .

$7 h + 14 x + 5$

Schritt 4.2.2

Stelle

$7 h$ und

$14 x$ um.

$14 x + 7 h + 5$

Schritt 5

Gib DEINE Aufgabe ein