Elementarmathematik Beispiele

f (x) = 3 x^{2} + 6

$f (x) = 3 x^{2} + 6$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

\frac{f (x + h) - f (x)}{h}

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei

x = x + h

$x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

x

$x$ durch

x + h

$x + h$ .

f (x + h) = 3 {(x + h)}^{2} + 6

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{2} + 6$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

Schreibe

{(x + h)}^{2}

${(x + h)}^{2}$ als

(x + h) (x + h)

$(x + h) (x + h)$ um.

f (x + h) = 3 ((x + h) (x + h)) + 6

$f (x + h) = 3 ((x + h) (x + h)) + 6$

Schritt 2.1.2.1.2

Multipliziere

(x + h) (x + h)

$(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

f (x + h) = 3 (x (x + h) + h (x + h)) + 6

$f (x + h) = 3 (x (x + h) + h (x + h)) + 6$

Schritt 2.1.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 6

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 6$

Schritt 2.1.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 6

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 6$

f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 6

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 6$

Schritt 2.1.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.3.1.1

Mutltipliziere

x

$x$ mit

x

$x$ .

f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 6

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 6$

Schritt 2.1.2.1.3.1.2

Mutltipliziere

h

$h$ mit

h

$h$ .

f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 6

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 6$

f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 6

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 6$

Schritt 2.1.2.1.3.2

Addiere

x h

$x h$ und

h x

$h x$ .

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Schritt 2.1.2.1.3.2.1

Stelle

x

$x$ und

h

$h$ um.

f (x + h) = 3 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 6

$f (x + h) = 3 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 6$

Schritt 2.1.2.1.3.2.2

Addiere

h x

$h x$ und

h x

$h x$ .

f (x + h) = 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 6

$f (x + h) = 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 6$

f (x + h) = 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 6

$f (x + h) = 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 6$

f (x + h) = 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 6

$f (x + h) = 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 6$

Schritt 2.1.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

f (x + h) = 3 x^{2} + 3 (2 h x) + 3 h^{2} + 6

$f (x + h) = 3 x^{2} + 3 (2 h x) + 3 h^{2} + 6$

Schritt 2.1.2.1.5

Mutltipliziere

2

$2$ mit

3

$3$ .

f (x + h) = 3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 6

$f (x + h) = 3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 6$

f (x + h) = 3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 6

$f (x + h) = 3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 6$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist

3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 6

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 6$ .

3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 6

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 6$

3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 6

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 6$

3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 6

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 6$

Schritt 2.2

Stelle um.

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Schritt 2.2.1

Bewege

3 x^{2}

$3 x^{2}$ .

6 h x + 3 h^{2} + 3 x^{2} + 6

$6 h x + 3 h^{2} + 3 x^{2} + 6$

Schritt 2.2.2

Stelle

6 h x

$6 h x$ und

3 h^{2}

$3 h^{2}$ um.

3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 6

$3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 6$

3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 6

$3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 6$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 6

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 6$

f (x) = 3 x^{2} + 6

$f (x) = 3 x^{2} + 6$

f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 6

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 6$

f (x) = 3 x^{2} + 6

$f (x) = 3 x^{2} + 6$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 6 - (3 x^{2} + 6)}{h}

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 6 - (3 x^{2} + 6)}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 6 - (3 x^{2}) - 1 \cdot 6}{h}

$\frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 6 - (3 x^{2}) - 1 \cdot 6}{h}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere

3

$3$ mit

- 1

$- 1$ .

\frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 6 - 3 x^{2} - 1 \cdot 6}{h}

$\frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 6 - 3 x^{2} - 1 \cdot 6}{h}$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

6

$6$ .

\frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 6 - 3 x^{2} - 6}{h}

$\frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 6 - 3 x^{2} - 6}{h}$

Schritt 4.1.4

Subtrahiere

3 x^{2}

$3 x^{2}$ von

3 x^{2}

$3 x^{2}$ .

\frac{3 h^{2} + 6 h x + 0 + 6 - 6}{h}

$\frac{3 h^{2} + 6 h x + 0 + 6 - 6}{h}$

Schritt 4.1.5

Addiere

3 h^{2}

$3 h^{2}$ und

0

$0$ .

\frac{3 h^{2} + 6 h x + 6 - 6}{h}

$\frac{3 h^{2} + 6 h x + 6 - 6}{h}$

Schritt 4.1.6

Subtrahiere

6

$6$ von

6

$6$ .

\frac{3 h^{2} + 6 h x + 0}{h}

$\frac{3 h^{2} + 6 h x + 0}{h}$

Schritt 4.1.7

Addiere

3 h^{2} + 6 h x

$3 h^{2} + 6 h x$ und

0

$0$ .

\frac{3 h^{2} + 6 h x}{h}

$\frac{3 h^{2} + 6 h x}{h}$

Schritt 4.1.8

Faktorisiere

3 h

$3 h$ aus

3 h^{2} + 6 h x

$3 h^{2} + 6 h x$ heraus.

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Schritt 4.1.8.1

Faktorisiere

3 h

$3 h$ aus

3 h^{2}

$3 h^{2}$ heraus.

\frac{3 h \cdot h + 6 h x}{h}

$\frac{3 h \cdot h + 6 h x}{h}$

Schritt 4.1.8.2

Faktorisiere

3 h

$3 h$ aus

6 h x

$6 h x$ heraus.

\frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x)}{h}

$\frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x)}{h}$

Schritt 4.1.8.3

Faktorisiere

3 h

$3 h$ aus

3 h \cdot h + 3 h (2 x)

$3 h \cdot h + 3 h (2 x)$ heraus.

\frac{3 h (h + 2 x)}{h}

$\frac{3 h (h + 2 x)}{h}$

\frac{3 h (h + 2 x)}{h}

$\frac{3 h (h + 2 x)}{h}$

\frac{3 h (h + 2 x)}{h}

$\frac{3 h (h + 2 x)}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

h

$h$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 h (h + 2 x)}{h}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere

$3 (h + 2 x)$ durch

$1$ .

$3 (h + 2 x)$

Schritt 4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 h + 3 (2 x)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.3.1

Mutltipliziere

$2$ mit

$3$ .

$3 h + 6 x$

Schritt 4.2.3.2

Stelle

$3 h$ und

$6 x$ um.

$6 x + 3 h$

Schritt 5

Gib DEINE Aufgabe ein